Encontre os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes 3 \times 3. Existe um conjunto de autovetores linearmente independente?
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores \lambda e autovetores associados da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e questiona se existe um conjunto de autovetores linearmente independente (i.e., se A é diagonalizável). Vamos usar o conceito de determinante \det(A - \lambda I) para achar os autovalores e, em seguida, resolver (A - \lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & 2-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha, temos
\det(A - \lambda I) =(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\\ 0 & 2-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2-\lambda\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Continuando a expansão,
\det(A - \lambda I) =(2-\lambda)(2-\lambda)^2 -\bigl(0\cdot0-(2-\lambda)\cdot1\bigr) =(2-\lambda)^3-(2-\lambda) =(2-\lambda)\bigl[(2-\lambda)^2-1\bigr].
Fatorando,
(2-\lambda)\bigl[(2-\lambda)-1\bigr]\bigl[(2-\lambda)+1\bigr] =(2-\lambda)(1-\lambda)(3-\lambda).
Logo, os autovalores são
\lambda_1=1,\quad \lambda_2=2,\quad \lambda_3=3.

Passo 4

Para cada \lambda, resolvemos (A-\lambda I)v=0: \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix}1&0&1\\\ 0&1&0\\\ 1&0&1\end{pmatrix},
que gera as equações v_1+v_3=0 e v_2=0. Um autovetor não nulo é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}. \lambda=2:
A-2I=\begin{pmatrix}0&0&1\\\ 0&0&0\\\ 1&0&0\end{pmatrix},
que impõe v_3=0 e v_1=0, deixando v_2 livre. Tomando v_2=1, obtemos
v^{(2)} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. \lambda=3:
A-3I=\begin{pmatrix}-1&0&1\\\ 0&-1&0\\\ 1&0&-1\end{pmatrix},
que dá -v_1+v_3=0 e v_2=0. Um autovetor é
v^{(3)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Os três autovetores
v^{(1)}=(1,0,-1)^T,\quad v^{(2)}=(0,1,0)^T,\quad v^{(3)}=(1,0,1)^T
são mutuamente ortogonais (e, portanto, linearmente independentes). Assim, existe um conjunto de três autovetores linearmente independentes, e A é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores e autovetores são: \lambda=1, v=(1,0,-1)^T; \lambda=2, v=(0,1,0)^T; \lambda=3, v=(1,0,1)^T.
Existe um conjunto de autovetores linearmente independente (sim, A é diagonalizável).

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