9-2 Encontre a distribuição de correntes de magnetização correspondentes a uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização M. De acordo com a Eq. (9-63), a indução magnética B é uniforme no interior desta esfera. Pode-se usar esta informação para desenhar um enrolamento para corrente que produzirá um campo magnético uniforme numa região esférica do espaço?
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de correntes de magnetização para uma esfera de raio
uniformemente magnetizada com magnetização
. Em seguida menciona que, segundo a Eq. (9-63), a indução magnética
é uniforme no interior da esfera, e questiona se podemos usar esse resultado para projetar um enrolamento de correntes capaz de gerar um campo uniforme em uma região esférica do espaço.
Passo 2
A teoria de corpos magnetizados diz que a magnetização
gera duas correntes ligadas (“bound currents”):
- A densidade de corrente de volume
- A densidade de corrente de superfície
onde
é o vetor normal unitário externo à superfície do corpo.
Passo 3
Para uma magnetização uniforme,
constante, o rotor é nulo. Logo
Passo 4
Na superfície da esfera, o vetor normal é
. Se tomarmos
, expressamos
em coordenadas esféricas e calculamos
Portanto a corrente de superfície é uma corrente circunferencial, com densidade
no sentido
-hats.
Passo 5
De fato a Eq. (9-63) mostra que o campo resultante dentro da esfera magnetizada uniformemente é
que é constante em todo o interior.
Passo 6
Isso significa que um invólucro esférico percorrido por uma corrente de superfície com densidade
produz internamente um campo magnético uniforme. Basta ajustar
para obter o valor desejado de
.
Passo 7
Em princípio, podemos projetar um enrolamento que reproduza a distribuição contínua
sobre uma casca esférica de raio
, de modo a gerar um campo uniforme dentro dela. Na prática, isso exigiria fios dispostos com densidade variável em
, o que é difícil de implementar exatamente, mas pode ser aproximado por bobinas discretas que tentem seguir o perfil
.
Resposta
A esfera uniformemente magnetizada tem
no volume e
na superfície. Esse padrão de corrente de superfície gera um campo uniforme
no interior. Em princípio, um enrolamento esférico com densidade de corrente proporcional a
produziria um campo uniforme numa região esférica, embora seja difícil de realizar perfeitamente na prática.