9-2 Encontre a distribuição de correntes de magnetização correspondentes a uma esfera uniformemente magnetizada com magnetização M. De acordo com a Eq. (9-63), a indução magnética B é uniforme no interior desta esfera. Pode-se usar esta informação para desenhar um enrolamento para corrente que produzirá um campo magnético uniforme numa região esférica do espaço?

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de correntes de magnetização para uma esfera de raio a uniformemente magnetizada com magnetização \mathbf{M}. Em seguida menciona que, segundo a Eq. (9-63), a indução magnética \mathbf{B} é uniforme no interior da esfera, e questiona se podemos usar esse resultado para projetar um enrolamento de correntes capaz de gerar um campo uniforme em uma região esférica do espaço.

Passo 2

A teoria de corpos magnetizados diz que a magnetização \mathbf{M} gera duas correntes ligadas (“bound currents”):
  1. A densidade de corrente de volume
\mathbf{J}_\text{m} = \nabla \times \mathbf{M}\,,
  1. A densidade de corrente de superfície
\mathbf{K}_\text{m} = \mathbf{M} \times \mathbf{\hat n}\,,
onde \mathbf{\hat n} é o vetor normal unitário externo à superfície do corpo.

Passo 3

Para uma magnetização uniforme, \mathbf{M}= constante, o rotor é nulo. Logo
\mathbf{J}_\text{m} = \nabla \times \mathbf{M} = \mathbf{0}\,.

Passo 4

Na superfície da esfera, o vetor normal é \mathbf{\hat n} = \mathbf{\hat r}. Se tomarmos \mathbf{M}=M\,\mathbf{\hat z}, expressamos \mathbf{\hat z} em coordenadas esféricas e calculamos
\mathbf{K}_\text{m} = M\,\mathbf{\hat z}\times\mathbf{\hat r} = M\sin\theta\;\mathbf{\hat\varphi}\,.
Portanto a corrente de superfície é uma corrente circunferencial, com densidade
K_\text{m}(\theta)=M\,\sin\theta
no sentido \varphi-hats.

Passo 5

De fato a Eq. (9-63) mostra que o campo resultante dentro da esfera magnetizada uniformemente é
\mathbf{B}_\text{int} = \tfrac{2}{3}\,\mu_0\,\mathbf{M}
que é constante em todo o interior.

Passo 6

Isso significa que um invólucro esférico percorrido por uma corrente de superfície com densidade K(\theta)=K_0\sin\theta produz internamente um campo magnético uniforme. Basta ajustar K_0 para obter o valor desejado de \mathbf{B}.

Passo 7

Em princípio, podemos projetar um enrolamento que reproduza a distribuição contínua
K(\theta)=K_0\sin\theta
sobre uma casca esférica de raio a, de modo a gerar um campo uniforme dentro dela. Na prática, isso exigiria fios dispostos com densidade variável em \theta, o que é difícil de implementar exatamente, mas pode ser aproximado por bobinas discretas que tentem seguir o perfil \sin\theta.

Resposta

A esfera uniformemente magnetizada tem
\mathbf{J}_\text{m}=0 no volume e
\mathbf{K}_\text{m}=M\sin\theta\,\mathbf{\hat\varphi} na superfície. Esse padrão de corrente de superfície gera um campo uniforme
\mathbf{B}_\text{int}=(2/3)\mu_0\mathbf{M} no interior. Em princípio, um enrolamento esférico com densidade de corrente proporcional a \sin\theta produziria um campo uniforme numa região esférica, embora seja difícil de realizar perfeitamente na prática.

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