Encontre o domínio de cada função, esboce o domínio e ldentifique os pontos interiores do domínio.
f(x, y)=raiz9-x^2-y^23 y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=raiz9 - x^2 - y^23,y
e pede (i) o domínio de f, (ii) esboçar esse domínio no plano (x,y) e (iii) identificar os pontos interiores desse domínio. Para isso, vamos usar as condições de existência da raiz quadrada e da divisão.

Passo 2

Para a raiz quadrada ser real, o radicando deve satisfazer
9 - x^2 - y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 <= 9
Para o denominador 3y ser diferente de zero, precisamos de
y neq 0
Combinando essas duas condições, o domínio é
D = l(x,y)inR^2mid x^2+y^2<= 9,;yneq 0r

Passo 3

Esboço do domínio: é o disco fechado de raio 3 centrado na origem, ou seja, a região x^2+y^2<= 9, porém cortado pela reta y=0. Em outras palavras, o disco está dividido em duas “meias-luas” (superior e inferior), incluindo a circunferência, mas sem nenhum ponto sobre o eixo x.

Passo 4

Os pontos interiores de D são aqueles em que podemos enfiar uma vizinhança aberta totalmente contida em D. Como a fronteira inclui a circunferência x^2+y^2=9 e a linha y=0, os interiores vêm de fazer ambas as condições estritas:
x^2 + y^2 < 9 e y neq 0
Logo, o interior de D é
D^circ = l(x,y)inR^2mid x^2+y^2<9,;yneq 0r

Resposta

Domínio:
D = l(x,y)inR^2mid x^2+y^2<= 9,;yneq 0r
Esboço: disco de raio 3 centrado na origem, sem o eixo x.
Pontos interiores:
D^circ = l(x,y)inR^2mid x^2+y^2<9,;yneq 0r

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