Encontre as primeiras derivadas parciais de cada finção.
f(x, y)=sen^-1 raiz1-x^2 y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=arcsinl(raiz,1 - x^2y^2,r)
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia em duas etapas: primeiro para arcsin(u) e depois para u=raizv com v=1 - x^2y^2.

Passo 2

Vamos calcular partial f/partial x. Seja
u(x,y)=raizv(x,y), v(x,y)=1 - x^2y^2
Então
partial fpartial x =1raiz1 - u^2;partial upartial x e partial upartial x =12raizv;partial vpartial x
Como partial v/partial x=-2xy^2, temos
partial upartial x =-2xy^22raiz1 - x^2y^2 =-x y^2raiz1 - x^2y^2

Passo 3

Agora partial f/partial x fica
partial fpartial x =1raiz,1 - l(raiz1 - x^2y^2r)^2, ;gl(-x y^2raiz1 - x^2y^2gr)

Passo 4

Observe que
1 - l(raiz1 - x^2y^2r)^2 =1 - l(1 - x^2y^2r) =x^2y^2,
portanto raiz1 - u^2=raizx^2y^2. Logo
partial fpartial x =-x y^2raizx^2y^2,raiz1 - x^2y^2 =-x y^2raiz1 - x^2y^2,raizx^2y^2
O mesmo raciocínio para partial f/partial y:
partial vpartial y=-2x^2y Longrightarrow partial upartial y =-x^2yraiz1 - x^2y^2
e portanto
partial fpartial y =-x^2yraizx^2y^2,raiz1 - x^2y^2 =-x^2yraiz1 - x^2y^2,raizx^2y^2

Resposta

partial fpartial x =-x,y^2raiz1 - x^2y^2,raizx^2y^2, partial fpartial y =-x^2,yraiz1 - x^2y^2,raizx^2y^2

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