Encontre as primeiras derivadas parciais de cada finção.
g(x, y)=ln (x+raiz[3]x^3+y^3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de
g(x,y)=lnl(x+(x^3+y^3)^1/3r)
Para isso vamos usar a regra da cadeia na função ln(u) e a regra da potência para a função u=x+(x^3+y^3)^1/3.

Passo 2

Para partial gpartial x aplicamos
ddxln(u)=1u,partial upartial x,
com
u = x+(x^3+y^3)^1/3
Calculando
partial upartial x = 1 + 13(x^3+y^3)^-2/3cdot 3x^2 = 1 + x^2(x^3+y^3)^2/3
Portanto
partial gpartial x = 1 + dfracx^2(x^3+y^3)^2/3 x + (x^3+y^3)^1/3

Passo 3

Para partial gpartial y usamos de novo a regra da cadeia:
partial gpartial y = 1u,partial upartial y,
com o mesmo u. Agora
partial upartial y = 13(x^3+y^3)^-2/3cdot 3y^2 = y^2(x^3+y^3)^2/3
Logo
partial gpartial y = dfracy^2(x^3+y^3)^2/3 x + (x^3+y^3)^1/3

Resposta

partial gpartial x = 1 + dfracx^2(x^3+y^3)^2/3 x + (x^3+y^3)^1/3, partial gpartial y = dfracy^2(x^3+y^3)^2/3 x + (x^3+y^3)^1/3

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