A fórmula de Sherman-Morrison descreve a solução de
, quando já existe uma fatoração de
. O que é a fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury e no que ela é diferente?
Passo 1
O enunciado pergunta o que é a fórmula de Sherman–Morrison–Woodbury e em que ela difere da fórmula de Sherman–Morrison. O conteúdo envolve atualização de inversa de matriz diante de um acréscimo de baixa posto (low‐rank update). Para resolver, vamos relembrar primeiro a fórmula de Sherman–Morrison (posto 1), depois apresentar a generalização de Woodbury (posto k) e, por fim, comparar as duas.
Passo 2
A fórmula de Sherman–Morrison trata especificamente de um update de posto 1. Dada uma matriz invertível
e vetores
, define-se a matriz atualizada
Supondo que
, a inversa de
é dada por
Passo 3
A fórmula de Sherman–Morrison–Woodbury (também chamada de matrix inversion lemma) generaliza esse resultado para updates de posto maior que 1. Em vez de vetores, usamos matrizes
e
e, opcionalmente, uma matriz intermediária
. A atualização geral é
Sob as hipóteses de invertibilidade de
e de
, a identidade de Sherman–Morrison–Woodbury afirma
No caso especial
, temos
Passo 4
A diferença fundamental é que Sherman–Morrison lida com um update de posto 1
, enquanto Woodbury cobre updates de posto
. Em termos práticos, Woodbury permite reutilizar eficientemente a inversa de
quando se acrescentam múltiplas colunas e linhas de uma só vez, reduzindo o custo computacional de
(recalcular toda a inversa) para operações em dimensão
.
Resposta
A fórmula de Sherman–Morrison–Woodbury é
que generaliza Sherman–Morrison (posto 1) para updates de posto
. A grande diferença é que, em vez de vetores
, usamos matrizes
e, opcionalmente, um núcleo
, permitindo atualizar inversas de forma eficiente para low‐rank updates de maior dimensão.