A fórmula de Sherman-Morrison descreve a solução de A+u v T, quando já existe uma fatoração de A. O que é a fórmula de Sherman-Morrison-Woodbury e no que ela é diferente?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é a fórmula de Sherman–Morrison–Woodbury e em que ela difere da fórmula de Sherman–Morrison. O conteúdo envolve atualização de inversa de matriz diante de um acréscimo de baixa posto (low‐rank update). Para resolver, vamos relembrar primeiro a fórmula de Sherman–Morrison (posto 1), depois apresentar a generalização de Woodbury (posto k) e, por fim, comparar as duas.

Passo 2

A fórmula de Sherman–Morrison trata especificamente de um update de posto 1. Dada uma matriz invertível A\in\mathbb{R}^{n\times n} e vetores u,v\in\mathbb{R}^n, define-se a matriz atualizada
A' = A + u\,v^T.
Supondo que 1+v^T A^{-1}u\neq0, a inversa de A' é dada por
\bigl(A + u\,v^T\bigr)^{-1} = A^{-1} \;-\; \frac{A^{-1}u\,v^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1}u}.

Passo 3

A fórmula de Sherman–Morrison–Woodbury (também chamada de matrix inversion lemma) generaliza esse resultado para updates de posto maior que 1. Em vez de vetores, usamos matrizes U\in\mathbb{R}^{n\times k} e V\in\mathbb{R}^{n\times k} e, opcionalmente, uma matriz intermediária C\in\mathbb{R}^{k\times k}. A atualização geral é
A' = A + U\,C\,V^T.
Sob as hipóteses de invertibilidade de A e de \bigl(C^{-1} + V^T A^{-1}U\bigr), a identidade de Sherman–Morrison–Woodbury afirma
\bigl(A + U\,C\,V^T\bigr)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}\,U\, \bigl(C^{-1} + V^T A^{-1} U\bigr)^{-1} \,V^T A^{-1}.
No caso especial C=I_k, temos
\bigl(A + U\,V^T\bigr)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}\,U\, \bigl(I_k + V^T A^{-1} U\bigr)^{-1} \,V^T A^{-1}.

Passo 4

A diferença fundamental é que Sherman–Morrison lida com um update de posto 1 u\,v^T, enquanto Woodbury cobre updates de posto k U\,C\,V^T. Em termos práticos, Woodbury permite reutilizar eficientemente a inversa de A quando se acrescentam múltiplas colunas e linhas de uma só vez, reduzindo o custo computacional de O(n^3) (recalcular toda a inversa) para operações em dimensão k\ll n.

Resposta

A fórmula de Sherman–Morrison–Woodbury é
\bigl(A + U\,C\,V^T\bigr)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}\,U\, \bigl(C^{-1} + V^T A^{-1} U\bigr)^{-1} \,V^T A^{-1},
que generaliza Sherman–Morrison (posto 1) para updates de posto k. A grande diferença é que, em vez de vetores u,v, usamos matrizes U,V e, opcionalmente, um núcleo C, permitindo atualizar inversas de forma eficiente para low‐rank updates de maior dimensão.

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