Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule
, (b) calcule
, (c) calcule
, (d) calcule
, e (e) verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede as segundas derivadas parciais de
ou seja, precisamos usar derivação parcial sucessivamente e depois verificar a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), lembrando que
é um polinômio (derivadas contínuas).
Passo 2
Cálculo de
. Primeiro achamos
Agora derivamos em
novamente:
Passo 3
Cálculo de
. Primeiro achamos
Agora derivamos em
novamente:
Passo 4
Cálculo de
. Partindo de
, derivamos em
:
Passo 5
Cálculo de
. Partindo de
, derivamos em
:
Passo 6
Verificação de que as derivadas mistas coincidem. Observamos que
o que confirma o teorema de Clairaut, pois
é polinomial e tem derivadas contínuas.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) De fato .
(b)
(c)
(d)
(e) De fato