Nos problemas de 1 a 12 (a) calcule partial^2 fpartial x^2 , (b) calcule partial^2 fpartial y^2 , (c) calcule
partial fpartial y partial x , (d) calcule partial^2 fpartial x partial y , e (e) verifique que partial^2 fpartial y partial x=partial^2 fpartial x partial y .
f(x, y)=4 x^2 y^3-x^4 y+x

Passo 1

O enunciado pede as segundas derivadas parciais de
f(x,y)=4x^2y^3-x^4y+x
ou seja, precisamos usar derivação parcial sucessivamente e depois verificar a igualdade das derivadas mistas (teorema de Clairaut), lembrando que f é um polinômio (derivadas contínuas).

Passo 2

Cálculo de partial^2fpartial x^2. Primeiro achamos
partial fpartial x =partialpartial xl(4x^2y^3-x^4y+xr) =8x,y^3-4x^3y+1
Agora derivamos em x novamente:
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(8x,y^3-4x^3y+1r) =8y^3-12x^2y

Passo 3

Cálculo de partial^2fpartial y^2. Primeiro achamos
partial fpartial y =partialpartial yl(4x^2y^3-x^4y+xr) =12x^2y^2-x^4
Agora derivamos em y novamente:
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl(12x^2y^2-x^4r) =24x^2y

Passo 4

Cálculo de partial fpartial ypartial x=partial^2fpartial ypartial x. Partindo de partial f/partial x=8x,y^3-4x^3y+1, derivamos em y:
partial^2fpartial ypartial x =partialpartial yl(8x,y^3-4x^3y+1r) =24x,y^2-4x^3

Passo 5

Cálculo de partial^2fpartial xpartial y. Partindo de partial f/partial y=12x^2y^2-x^4, derivamos em x:
partial^2fpartial xpartial y =partialpartial xl(12x^2y^2-x^4r) =24x,y^2-4x^3

Passo 6

Verificação de que as derivadas mistas coincidem. Observamos que
partial^2fpartial ypartial x =partial^2fpartial xpartial y =24x,y^2-4x^3,
o que confirma o teorema de Clairaut, pois f é polinomial e tem derivadas contínuas.

Resposta

(a) partial^2fpartial x^2=8y^3-12x^2y.
(b) partial^2fpartial y^2=24x^2y.
(c) partial^2fpartial ypartial x=24x,y^2-4x^3.
(d) partial^2fpartial xpartial y=24x,y^2-4x^3.
(e) De fato partial^2fpartial ypartial x=partial^2fpartial xpartial y.

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