Nos problemas 9 a 12, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
(10 \iiint_{S}\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} d x d y d z), onde
é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide de revolução
, inferiormente pelo plano
, lateralmente pelo cilindro
.
(10 \iiint_{S}\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} d x d y d z), onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o sólido limitado superiormente pelo paraboloide de revolução
, inferiormente pelo plano
e lateralmente pelo cilindro
. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integral.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas
temos
logo
e o elemento de volume
Assim o integrando completo fica
.
Passo 3
Os limites em cilíndricas são
Portanto a integral vira
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora integramos em
e
: