Nos problemas 9 a 12, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
(10 \iiint_{S}\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} d x d y d z), onde S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide de revolução z=1 / 2(x^2+y^2), inferiormente pelo plano x y, lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaS(x^2+y^2)^3/2,dx,dy,dz,
onde S é o sólido limitado superiormente pelo paraboloide de revolução z=tfrac12(x^2+y^2), inferiormente pelo plano z=0 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integral.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos
x=rcostheta, y=rsintheta, x^2+y^2=r^2,
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(x^2+y^2)^3/2=(r^2)^3/2=r^3,
e o elemento de volume
dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz
Assim o integrando completo fica r^3cdot r = r^4.

Passo 3

Os limites em cilíndricas são
0<=theta<=2pi, 0<= r<=2, 0<= z<=tfrac12,r^2
Portanto a integral vira
integral0^2pi!integral0^2!integral0^tfrac12 r^2 r^4,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^tfrac12 r^2 r^4,dz = r^4l[zr]0^tfrac12 r^2 = r^4cdottfrac12,r^2 = tfrac12,r^6

Passo 5

Agora integramos em r e theta:
integral0^2pi!integral0^2tfrac12,r^6,dr,dtheta = l(integral0^2pidthetar)l(tfrac12integral0^2r^6,drr) = 2picdottfrac12cdot2^77 = 128pi7

Resposta

128pi7

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