2 Sejam P=(-1,2,3) e Q=(-3,3,5). Ache os co-senos diretores do vetor barA= P Q e verifique que a soma dos quadrados dos seus co-senos diretores é igual a 1.
SOLUÇÃO
barA=P Q=(-3+1) i+(3-2) j+(5-3) bark=-2 bari+barj+2 bark ; log 0,
|barA|=raiz(-2)^2+1^2+2^2=raiz9=3 e barA|barA|=-23 bari+13 barj+23 bark.
Logo, os co-senos diretores são cos alpha=-23, cos beta=13, e cos gamma=23,
e cos ^2 alpha+cos ^2 beta+cos ^2 gamma=(-23)^2+(13)^2+(23)^2=49+19+49=1.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em R^3, P=(-1,2,3) e Q=(-3,3,5), e pede os co-senos diretores do vetor PQ. Para isso, vamos precisar de:
  1. cálculo do vetor PQ pela diferença de coordenadas;
  2. determinação da norma desse vetor;
  3. obtenção do vetor unitário dividindo o vetor pela sua norma;
  4. reconhecimento de que os co-senos diretores são as componentes desse vetor unitário e verificação de que a soma dos seus quadrados vale 1.

Passo 2

Calculamos PQ subtraindo as coordenadas de P das de Q:
PQ = (xQ - xP),i + (yQ - yP),j + (zQ - zP),k = (-3 - (-1)),i + (3 - 2),j + (5 - 3),k = -2,i + 1,j + 2,k

Passo 3

Calculamos a norma de PQ:
l|PQr| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 4

Formamos o vetor unitário u na direção de PQ dividindo pela norma:
u = PQl|PQr| = -23,i + 13,j + 23,k

Passo 5

Os co-senos diretores são as componentes de u, isto é,
cosalpha = -23, cosbeta = 13, cosgamma = 23
Verificamos a soma dos quadrados:
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = (-tfrac23)^2 + (tfrac13)^2 + (tfrac23)^2 = tfrac49 + tfrac19 + tfrac49 = 1

Resposta

cosalpha = -tfrac23, cosbeta = tfrac13, cosgamma = tfrac23
e
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1.

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