Todas as matrizes quadradas têm uma inversa? Por que sim ou por que não?
Passo 1
O enunciado pergunta se toda matriz quadrada possui inversa. O conteúdo é álgebra linear, mais especificamente o conceito de matriz invertível e as condições de existência da inversa (determinante e posto).
Passo 2
Uma matriz quadrada
de ordem
é dita invertível se existir outra matriz
de mesma ordem tal que
onde
é a matriz identidade de ordem
. Nesse caso, escrevemos
.
Passo 3
Um critério fundamental para a invertibilidade usa o determinante:
– Se
, então
é invertível.
– Se , então
não é invertível (é dita singular).
– Se
Isso ocorre porque
equivale a dizer que as colunas (ou linhas) de
são linearmente independentes, garantindo que a aplicação linear associada seja bijetora.
Passo 4
Em termos de posto (rank), uma matriz quadrada
é invertível se e somente se seu posto for máximo, isto é,
Se o posto for menor que
, há dependência linear entre colunas (ou linhas) e
não admite inversa.
Passo 5
Exemplo de matriz não invertível:
Aqui
, logo
é singular e não existe
.]
Resposta
Não. Nem toda matriz quadrada é invertível: apenas aquelas cujo determinante é diferente de zero (ou equivalentemente cujo posto é igual à ordem da matriz) possuem inversa.