Todas as matrizes quadradas têm uma inversa? Por que sim ou por que não?

Passo 1

O enunciado pergunta se toda matriz quadrada possui inversa. O conteúdo é álgebra linear, mais especificamente o conceito de matriz invertível e as condições de existência da inversa (determinante e posto).

Passo 2

Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir outra matriz B de mesma ordem tal que
AB = BA = I_n,
onde I_n é a matriz identidade de ordem n. Nesse caso, escrevemos B = A^{-1}.

Passo 3

Um critério fundamental para a invertibilidade usa o determinante:
– Se \det(A)\neq 0, então A é invertível.
– Se \det(A)=0, então A não é invertível (é dita singular).
Isso ocorre porque \det(A)\neq 0 equivale a dizer que as colunas (ou linhas) de A são linearmente independentes, garantindo que a aplicação linear associada seja bijetora.

Passo 4

Em termos de posto (rank), uma matriz quadrada A é invertível se e somente se seu posto for máximo, isto é,
\operatorname{rank}(A)=n.
Se o posto for menor que n, há dependência linear entre colunas (ou linhas) e A não admite inversa.

Passo 5

Exemplo de matriz não invertível:
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=1\cdot4-2\cdot2=0, logo A é singular e não existe A^{-1}.]

Resposta

Não. Nem toda matriz quadrada é invertível: apenas aquelas cujo determinante é diferente de zero (ou equivalentemente cujo posto é igual à ordem da matriz) possuem inversa.

Exercícios de Livros Relacionados