Use a aproximação linear para estimar f(x0+De<a x, y0+De<a y) para cada função f e para os valores indicados de x0, y0, De<a x e De<a y.
2 f(x, y)=x^3-2 x y+3 y^3 ; x0=2, y0=1, De<a x=0,03, De<a y=-0,01.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a aproximação linear (ou diferencial total) para estimar
fl(x0+De<a x,;y0+De<a yr)
onde a função é dada indiretamente por
2,f(x,y)=x^3-2xy+3y^3,
e conhecemos x0=2, y0=1, De<a x=0,03 e De<a y=-0,01. Para isso, vamos obter f(x,y), suas derivadas parciais, avaliá-las em (2,1) e montar
f(x0+De<a x,y0+De<a y)approx f(x0,y0) + fx(x0,y0),De<a x + fy(x0,y0),De<a y

Passo 2

Primeiro escrevemos explicitamente
f(x,y)=12l(x^3-2xy+3y^3r)
As derivadas parciais são
fx(x,y) =12l(3x^2-2yr), fy(x,y) =12l(-2x+9y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos f, fx e fy em (x0,y0)=(2,1):
f(2,1) =12l(2^3-2cdot2cdot1+3cdot1^3r) =12(8-4+3) =72 =3,5,
fx(2,1) =12l(3cdot2^2-2cdot1r) =12(12-2) =102 =5,
fy(2,1) =12l(-2cdot2+9cdot1^2r) =12(-4+9) =52 =2,5

Passo 4

Aplicando a fórmula da aproximação linear:
De<a f approx fx(2,1),De<a x ;+; fy(2,1),De<a y =5cdot0,03 ;+; 2,5cdot(-0,01) =0,15-0,025 =0,125

Passo 5

Logo a estimativa para f(2,03,,0,99) é
f(2,1)+De<a f =3,5 + 0,125 =3,625

Resposta

Aproximação linear dá
f(2,03,,0,99)approx3,625

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