Use a eliminação de Gauss com substituição regressiva e aritmética de arredondamento de dois algarismos para resolver os seguintes sistemas lineares. Não reordene as equações. (A solução exata para cada sistema é x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=3.)
a. 4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8, 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=3, x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=11.

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=8,\\\\ 2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=3,\\\ x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=11. \end{cases}
O objetivo é aplicar eliminação de Gauss sem trocar linhas, usando aritmética de arredondamento com dois algarismos (duas casas decimais) em cada operação, e em seguida fazer substituição regressiva para obter x_{3}, x_{2} e x_{1}.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial com duas casas decimais:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4.00 & -1.00 & 1.00 & 8.00\\\\ 2.00 & 5.00 & 2.00 & 3.00\\\\ 1.00 & 2.00 & 4.00 & 11.00 \end{array}\right].
Eliminamos abaixo de a_{11}=4.00: \displaystyle m_{21}=\frac{2.00}{4.00}=0.50
linha2 ← linha2 − 0.50\cdotlinha1
\begin{aligned} 2.00-0.50\cdot4.00&=0.00,\\\\ 5.00-0.50\cdot(-1.00)&=5.50,\\\\ 2.00-0.50\cdot1.00&=1.50,\\\\ 3.00-0.50\cdot8.00&=-1.00. \end{aligned} \displaystyle m_{31}=\frac{1.00}{4.00}=0.25
linha3 ← linha3 − 0.25\cdotlinha1
\begin{aligned} 1.00-0.25\cdot4.00&=0.00,\\\\ 2.00-0.25\cdot(-1.00)&=2.25,\\\\ 4.00-0.25\cdot1.00&=3.75,\\\\ 11.00-0.25\cdot8.00&=9.00. \end{aligned}
Nova matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 4.00 & -1.00 & 1.00 & 8.00\\\\ 0.00 & 5.50 & 1.50 & -1.00\\\\ 0.00 & 2.25 & 3.75 & 9.00 \end{array}\right].

Passo 3

Agora eliminamos abaixo de a_{22}=5.50: \displaystyle m_{32}=\frac{2.25}{5.50}=0.41
linha3 ← linha3 − 0.41\cdotlinha2
\begin{aligned} 2.25-0.41\cdot5.50&=-0.01,\\\\ 3.75-0.41\cdot1.50&=3.13,\\\\ 9.00-0.41\cdot(-1.00)&=9.41. \end{aligned}
Arredondando tudo com duas casas decimais, a linha3 fica (0.00,\,-0.01,\,3.13\mid 9.41). A matriz triangular final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4.00 & -1.00 & 1.00 & 8.00\\\\ 0.00 & 5.50 & 1.50 & -1.00\\\\ 0.00 & -0.01 & 3.13 & 9.41 \end{array}\right].

Passo 4

Substituição regressiva, arredondando sempre a duas casas decimais:
Da 3ª linha:
3.13\,x_{3}=9.41 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{9.41}{3.13}=3.00.
Da 2ª linha:
5.50\,x_{2}+1.50\cdot3.00=-1.00 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\frac{-1.00-4.50}{5.50}=-1.00.
Da 1ª linha:
4.00\,x_{1}-(-1.00)+3.00=8.00 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{8.00+1.00-3.00}{4.00}=1.00.

Resposta

x_{1}=1.00, x_{2}=-1.00, x_{3}=3.00.

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