Use integração dupla para calcular a área da regiāo ® no plano (x y) limitada pelas curvas dadas.
x y=3 e x+y=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no plano (x,y) limitada pelas curvas
xy = 3
e
x + y = 4
O conteúdo usado será integração dupla para cálculo de área, mas aqui podemos reduzir a um único integral simples, pois a região é dada por duas curvas que se intersectam em dois pontos.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção das curvas resolvendo o sistema
xy = 3, x + y = 4
Da segunda equação temos y = 4 - x. Substituindo na primeira:
x(4 - x) = 3 Longrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 Longrightarrow (x-1)(x-3)=0,
logo x=1 ou x=3. Os pontos são (1,3) e (3,1).

Passo 3

Para cada x entre 1 e 3, a reta y=4-x fica acima do ramo de hipérbole y=3/x. Portanto a região R pode ser descrita como
1<= x<=3, 3x<= y<= 4-x
A área é
A = integral duplaR dA = integralx=1^3 integraly=3x^4-x dy,dx = integral1^3 l[(4-x)-tfrac3xr],dx

Passo 4

Vamos calcular o integral
A = integral1^3 (4-x),dx ;-; integral1^3 3x,dx
Primeiro,
integral1^3 (4-x),dx = l[4x - tfracx^22r]1^3 = l(12 - tfrac92r) - l(4 - tfrac12r) = 152 - 72 = 4
Depois,
integral1^3 3x,dx = 3l[ln xr]1^3 = 3ln 3 - 3ln 1 = 3ln 3
Logo
A = 4 - 3ln 3

Resposta

boxed4 - 3ln 3

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