Use todos os métodos de Adams-Bashforth para aproximar as soluções dos seguintes problemas de valor inicial. Em cada caso, use valores iniciais exatos e compare os resultados aos valores reais.
b. y^{\prime}=1+(t-y)^{2}, \quad 2 \leq t \leq 3, \quad y(2)=1, com h=0,2; solução real y(t)=t+\frac{1}{1-t}.

Passo 1

O problema é aproximar a solução do PVI
y' = 1 + (t - y)^2,\quad y(2)=1,
no intervalo 2\le t\le3 com passo h=0,2. A solução exata é
y(t)=t+\frac{1}{1-t}.
Vamos usar todos os métodos de Adams–Bashforth explícitos de ordem 1 a 4, tomando como “valores iniciais exatos” os valores de y(t) nos nós iniciais necessários, e comparar as aproximações com y(t) exata.

Passo 2

Discretizamos t_n=2 + n\cdot0,2, n=0,1,\dots,5. Os valores exatos são
\begin{aligned} y_0&=y(2,0)=1,000000,\\\ y_1&=y(2,2)=1,366667,\\\ y_2&=y(2,4)=1,685714,\\\ y_3&=y(2,6)=1,975000,\\\ y_4&=y(2,8)=2,244444,\\\ y_5&=y(3,0)=2,500000. \end{aligned}
E definimos
f_n=f\bigl(t_n,y_n\bigr)=1+(t_n-y_n)^2,
cujo cálculo exato em y_n
\begin{aligned} f_0&=2{,}000000, & f_1&=1{,}694444, & f_2&=1{,}510204,\\\ f_3&=1{,}390625, & f_4&=1{,}308642, & f_5&=1{,}250000. \end{aligned}

Passo 3

Adams–Bashforth de ordem 1 (Euler explícito):
y_{n+1}=y_n + h\,f_n,\quad n=0,\dots,4,
com y_0=1. Calculando em cada passo e comparando ao exato:
\begin{aligned} y_1&=1 +0,2\cdot2{,}000000=1{,}400000,\quad\text{erro}=1{,}400000-1{,}366667=0{,}033333,\\\ y_2&=1{,}400000+0,2\cdot1{,}640000=1{,}728000,\quad\text{erro}=1{,}728000-1{,}685714=0{,}042286,\\\ y_3&=1{,}728000+0,2\cdot1{,}451584=2{,}018317,\quad\text{erro}=0{,}043317,\\\ y_4&=2{,}018317+0,2\cdot1{,}338354=2{,}285988,\quad\text{erro}=0{,}041544,\\\ y_5&=2{,}285988+0,2\cdot1{,}264200=2{,}538828,\quad\text{erro}=0{,}038828. \end{aligned}

Passo 4

Adams–Bashforth de ordem 2:
y_{n+2}=y_{n+1}+h\Bigl(\tfrac32\,f_{n+1}-\tfrac12\,f_n\Bigr),\quad n=0,\dots,3,
usando y_0,y_1 exatos. Após computar os f em cada y_n aproximado:
\begin{aligned} y_2&=1{,}366667+0,2\bigl(\tfrac32\cdot1{,}694444-\tfrac12\cdot2{,}000000\bigr)=1{,}675000,\;\text{erro}=-0{,}010714,\\\ y_3&=1{,}675000+0,2\bigl(\tfrac32\cdot1{,}525625-\tfrac12\cdot1{,}694444\bigr)=1{,}963243,\;\text{erro}=-0{,}011757,\\\ y_4&=1{,}963243+0,2\bigl(\tfrac32\cdot1{,}405476-\tfrac12\cdot1{,}525625\bigr)=2{,}232323,\;\text{erro}=-0{,}012121,\\\ y_5&=2{,}232323+0,2\bigl(\tfrac32\cdot1{,}322301-\tfrac12\cdot1{,}405476\bigr)=2{,}488466,\;\text{erro}=-0{,}011534. \end{aligned}

Passo 5

Adams–Bashforth de ordem 3:
y_{n+3}=y_{n+2}+h\Bigl(\tfrac{23}{12}f_{n+2}-\tfrac43f_{n+1}+\tfrac5{12}f_n\Bigr),\;n=0,1,2,
com y_0,y_1,y_2 exatos:
\begin{aligned} y_3&=1{,}685714+0,2\bigl(\tfrac{23}{12}\,1{,}510204-\tfrac43\,1{,}694444+\tfrac5{12}\,2{,}000000\bigr)=1{,}785607,\;\text{erro}=-0{,}189393,\\\ y_4&=1{,}785607+0,2\bigl(\tfrac{23}{12}\,1{,}663267-\tfrac43\,1{,}510204+\tfrac5{12}\,1{,}694444\bigr)=2{,}161675,\;\text{erro}=-0{,}082769,\\\ y_5&=2{,}161675+0,2\bigl(\tfrac{23}{12}\,1{,}407447-\tfrac43\,1{,}663267+\tfrac5{12}\,1{,}510204\bigr)=2{,}383282,\;\text{erro}=-0{,}116718. \end{aligned}

Passo 6

Adams–Bashforth de ordem 4:
y_{n+4}=y_{n+3}+h\Bigl(\tfrac{55}{24}f_{n+3}-\tfrac{59}{24}f_{n+2}+\tfrac{37}{24}f_{n+1}-\tfrac38f_n\Bigr),\;n=0,1,
com y_0,y_1,y_2,y_3 exatos:
\begin{aligned} y_4&=1{,}975000+0,2\bigl(\tfrac{55}{24}\,1{,}390625-\tfrac{59}{24}\,1{,}510204+\tfrac{37}{24}\,1{,}694444-\tfrac38\,2{,}000000\bigr)\\\ &\quad=2{,}242586,\;\text{erro}=-0{,}001858,\\\ y_5&=2{,}242586+0,2\bigl(\tfrac{55}{24}\,1{,}310712-\tfrac{59}{24}\,1{,}390625+\tfrac{37}{24}\,1{,}510204-\tfrac38\,1{,}694444\bigr)\\\ &\quad=2{,}498419,\;\text{erro}=-0{,}001581. \end{aligned}

Resposta

Comparando todas as aproximações em t=3,0 com y(3)=2,5:
AB1 (ordem 1): y_5=2{,}538828, erro +0{,}038828
AB2 (ordem 2): y_5=2{,}488466, erro -0{,}011534
AB3 (ordem 3): y_5=2{,}383282, erro -0{,}116718
AB4 (ordem 4): y_5=2{,}498419, erro -0{,}001581

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