Use todos os métodos de Adams-Bashforth para aproximar as soluções dos seguintes problemas de valor inicial. Em cada caso, use valores iniciais exatos e compare os resultados aos valores reais.
b.
, com
; solução real
.
b.
Passo 1
O problema é aproximar a solução do PVI
no intervalo
com passo
. A solução exata é
Vamos usar todos os métodos de Adams–Bashforth explícitos de ordem 1 a 4, tomando como “valores iniciais exatos” os valores de
nos nós iniciais necessários, e comparar as aproximações com
exata.
Passo 2
Discretizamos
,
. Os valores exatos são
E definimos
cujo cálculo exato em
dá
Passo 3
Adams–Bashforth de ordem 1 (Euler explícito):
com
. Calculando em cada passo e comparando ao exato:
Passo 4
Adams–Bashforth de ordem 2:
usando
exatos. Após computar os
em cada
aproximado:
Passo 5
Adams–Bashforth de ordem 3:
com
exatos:
Passo 6
Adams–Bashforth de ordem 4:
com
exatos:
Resposta
Comparando todas as aproximações em
com
:
AB1 (ordem 1):
, erro
AB2 (ordem 2): , erro
AB3 (ordem 3): , erro
AB4 (ordem 4): , erro
AB2 (ordem 2):
AB3 (ordem 3):
AB4 (ordem 4):