No cálculo da perda de carga no escoamento através de uma tubulação, o fator de atrito é um parâmetro muito importante. Em determinado problema, o fator de atrito é calculado utilizando-se diagramas ou correlações.
Para o escoamento de água em uma tubulação com diâmetro D e rugosidade relativa \epsilon / D, diferente de zero, o fator de atrito
A é uma constante, independendo do regime de escoamento.
(B) é uma função da vazão e da rugosidade relativa, caso o escoamento esteja no regime laminar.
C é uma função somente da rugosidade relativa, caso o Reynolds seja suficientemente elevado.
(D) tem um comportamento monotônico, aumentando na medida em que a vazão aumenta.
E diminui com o aumento da rugosidade relativa, caso o escoamento seja turbulento com um número de Reynolds fixo.

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie afirmações sobre o fator de atrito em escoamento de água numa tubulação de diâmetro D e rugosidade relativa \epsilon/D (com \epsilon/D\neq0). As alternativas descrevem possíveis dependências do fator de atrito em função do regime (laminar/turbulento), da vazão e da rugosidade relativa.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma tubulação com diâmetro D.
  • Há rugosidade relativa \epsilon/D, diferente de zero.
  • O fluido é água (mas o argumento vale em termos de dependência adimensional).
  • As alternativas falam sobre comportamento em regimes laminar, turbulento e em função da vazão/Reynolds.
    O que se pede: indicar quais alternativas são verdadeiras/ falsas e, portanto, escolher a alternativa correta (há exatamente uma correta).

Passo 2

Definição e conceito central: número de Reynolds e fator de atrito. Vou apresentar as fórmulas que usamos frequentemente e explicar o que cada símbolo significa.
O número de Reynolds é a grandeza adimensional que caracteriza o regime de escoamento:
Re=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a massa específica do fluido, V é a velocidade média do fluido na tubulação, D é o diâmetro da tubulação e \mu é a viscosidade dinâmica. Observação prática: a vazão volumétrica Q está relacionada com V por
Q = A\,V = \frac{\pi D^{2}}{4}\,V,
então qualquer dependência de V pode ser traduzida em dependência de Q.
O fator de atrito (comumente denotado por f na equação de Darcy–Weisbach) é uma grandeza adimensional que aparece na perda de carga por unidade de comprimento:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde L é o comprimento considerado. Aqui f depende de Re e de \epsilon/D em geral.

Passo 3

Regime laminar (o que significa e a fórmula do fator de atrito).
Quando o escoamento é laminar, tipicamente Re\lesssim 2000 (critério prático), existe uma fórmula simples e exata (para escoamento plenamente desenvolvido em tubo circular):
f=\frac{64}{Re}.
Explicação didática: essa relação foi obtida resolvendo a equação de Navier–Stokes para escoamento laminar em tubo (perfil de velocidade parabólico) e calculando a perda de carga — o resultado mostra que f depende só de Re. Importante: nessa fórmula não aparece \epsilon/D; isto é, no regime laminar o efeito da rugosidade da parede é desprezível porque as forças viscosas dominam e “suavizam” o efeito de pequenas irregularidades. Conclusão imediata: no regime laminar f é função somente de Re (logo de V ou Q), e não da rugosidade relativa.

Passo 4

Regime turbulento e a equação de Colebrook–White (visão geral).
No regime turbulento, o comportamento é mais complexo. Uma correlação amplamente usada é a equação implícita de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left( \frac{\epsilon/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}} \right).
Explicação do que significa cada termo:
  • O termo \dfrac{2{,}51}{Re\sqrt{f}} representa efeitos viscosos (depende de Re).
  • O termo \dfrac{\epsilon/D}{3{,}7} representa os efeitos da rugosidade relativa.
    Essa equação mostra que, em regime turbulento, f depende tanto de Re quanto de \epsilon/D em geral. Mas há dois limites importantes:

Passo 5

Limites da equação de Colebrook e implicação para a alternativa (C).
  • Limite de tubo rugoso completamente desenvolvido (Re muito grande): quando Re é suficientemente elevado, o termo \dfrac{2{,}51}{Re\sqrt{f}} fica desprezível perante \dfrac{\epsilon/D}{3{,}7}. Então a Colebrook reduz para
\frac{1}{\sqrt{f}} \approx -2\log_{10}\!\left( \frac{\epsilon/D}{3{,}7} \right),
ou seja, f torna-se função somente da rugosidade relativa \epsilon/D e independe de Re. Esse é o chamado regime “fully rough” (totalmente rugoso). Conclusão: a alternativa (C) — “é uma função somente da rugosidade relativa, caso o Reynolds seja suficientemente elevado” — está correta, pois descreve exatamente esse limite físico da equação de Colebrook.

Passo 6

Avaliação das outras alternativas com justificativas didáticas e exemplos curtos.
  • Alternativa (A): “é uma constante, independendo do regime de escoamento.” Comentário: falsa. Mostramos que em laminar f=64/Re (varia com Re), e em turbulento f depende de Re e \epsilon/D (via Colebrook), portanto não é uma constante.
  • Alternativa (B): “é uma função da vazão e da rugosidade relativa, caso o escoamento esteja no regime laminar.” Comentário: falsa. No regime laminar f depende da vazão (via Re), mas NÃO depende da rugosidade relativa (para escoamentos laminars tipicamente a rugosidade é desprezível). Logo a parte “e da rugosidade relativa” é incorreta.
  • Alternativa (D): “tem um comportamento monotônico, aumentando na medida em que a vazão aumenta.” Comentário: falsa. Relacionamento típico: no regime laminar f=64/Re portanto, se a vazão (ou V) aumenta, Re aumenta e f diminui (comportamento decrescente). Na maioria das faixas turbulentas f também tende a diminuir com Re até o regime totalmente rugoso; não existe um aumento monotônico universal de f com vazão. Assim a afirmação de monotonicidade crescente é incorreta.
  • Alternativa (E): “diminui com o aumento da rugosidade relativa, caso o escoamento seja turbulento com um número de Reynolds fixo.” Comentário: falsa. Mantendo Re fixo, se \epsilon/D aumenta a perda por atrito aumenta — ou seja, f aumenta —, pois superfícies mais rugosas aumentam a resistência. Portanto (E) inverte a relação correta.

Passo 7

Resumo final do raciocínio e escolha.
  • (A) falsa — f não é constante.
  • (B) falsa — no regime laminar f não depende da rugosidade relativa.
  • (C) verdadeira — em regime turbulento com Re suficientemente grande ( fully\\ rough) f depende só de \epsilon/D.
  • (D) falsa — f não cresce monotonicamente com a vazão (ex.: laminar diminui com V).
  • (E) falsa — com Re fixo, aumentar \epsilon/D aumenta f, não diminui.
    Portanto a única alternativa correta é a (C).

Resposta

(C)

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