Considere que foi desenvolvido um modelo empírico, relacionando-se dados experimentais de vazão volumétrica, q, de um líquido através de uma válvula e a diferença entre as pressões a montante, \mathrm{P}_{1}, e a jusante da mesma, \mathrm{P}_{2}, tal que:
q=C_{v} \sqrt{P_{1}-P_{2}}
em que a constante C_{v} foi estimada por regressão não linear.
Considerando-se as três dimensões fundamentais MLt , a dimensão de Cv para consistência dimensional é
(A) \mathrm{M}^{-1 / 2} \mathrm{~L}^{7 / 2}
(B) M^{1 / 2} L^{1 / 2}
(C) \mathrm{M}^{-1 / 2} \mathrm{~L}^{5 / 2}
(D) \mathrm{M}-{ }^{1 / 2} \mathrm{~L}^{7 / 2} \mathrm{t}^{1 / 2}
(E) \mathrm{L}^{7 / 2} \mathrm{t}^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a relação
q = C_{v} \sqrt{P_{1}-P_{2}}
e pede a dimensão de C_{v} para consistência dimensional. Informações relevantes fornecidas:
  • q é vazão volumétrica (vazão de volume) do líquido.
  • P_{1}-P_{2} é uma diferença de pressão.
  • Deve-se expressar a dimensão de C_{v} nas dimensões fundamentais M, L, t.

Passo 2

Definimos as dimensões das grandezas conhecidas:
  • Vazão volumétrica q é volume por tempo. Portanto,
[q] = L^{3} t^{-1}.
Expliquei: volume tem dimensão L^{3} e dividir por tempo traz o fator t^{-1}.

Passo 3

Encontrar a dimensão da diferença de pressão P_{1}-P_{2}.
Pressão é força por área. A força tem dimensão massa vezes aceleração:
[\text{força}] = M \cdot (L t^{-2}) = M L t^{-2}.ç
Dividindo por área (L^{2}) obtemos
[P_{1}-P_{2}] = M L t^{-2} \cdot L^{-2} = M L^{-1} t^{-2}.
Expliquei: aceleracão é L t^{-2}; força é M L t^{-2}; pressão é força sobre área.

Passo 4

Calcular a dimensão de \sqrt{P_{1}-P_{2}}. Tomando raiz quadrada de M L^{-1} t^{-2}
\sqrt{[P_{1}-P_{2}]} = \sqrt{M L^{-1} t^{-2}} = M^{1/2} L^{-1/2} t^{-1}.
Expliquei: a raiz age em cada fator, por exemplo \sqrt{M}=M^{1/2}, \sqrt{L^{-1}}=L^{-1/2}, \sqrt{t^{-2}}=t^{-1}.

Passo 5

Isolar a dimensão de C_{v} a partir da equação original:
[C_{v}] = \frac{[q]}{\sqrt{[P_{1}-P_{2}]}}.
Substituindo os resultados:
[C_{v}] = \frac{L^{3} t^{-1}}{M^{1/2} L^{-1/2} t^{-1}}.
Simplificando expoentes termo a termo:
  • Para M: M^{0}/M^{1/2}=M^{-1/2}.
  • Para L: L^{3}\cdot L^{1/2}=L^{7/2}.
  • Para t: t^{-1}/t^{-1}=t^{0} (cancela).
    Portanto
[C_{v}] = M^{-1/2} L^{7/2}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a \,M^{-1/2}L^{7/2}\, é a alternativa (A).

Resposta

(A) \;M^{-1/2}L^{7/2}

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