Considerando a possibilidade de tombamento, determine uma expressão que encontre a distância b da barragem em função da profundidade de água h. Determine a menor distância b da barragem de concreto por gravidade que impedirá que a barragem tombe devido à pressão da água atuando sobre sua face vertical. O peso específico do concreto é
. Resolva o problema usando uma largura de 1 m da barragem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: uma expressão que dê a distância
da barragem em função da profundidade de água
e, com essa expressão, encontrar o menor valor de
que impede o tombamento causado pela pressão da água.
Dados e convenções que vou usar (tudo fornecido ou padrão): (peso específico do concreto, dado), largura (espessura) da barragem igual a
(dado), e peso específico da água assumido como
(valor padrão).
Definições de geometria (convenção usada aqui): a face voltada para a água é vertical em , a face oposta está em
, a altura da barragem na qual age a água é
. O pivô de tombamento considerado é o pé (toe) downstream na aresta inferior
.
Dados e convenções que vou usar (tudo fornecido ou padrão):
Definições de geometria (convenção usada aqui): a face voltada para a água é vertical em
Passo 2
Vamos calcular a força resultante da pressão hidrostática na face vertical. A pressão em profundidade
(medida a partir do topo? melhor medir a partir da base para ser consistente) cresce linearmente com a profundidade. Usando
medido desde a base (0) até o topo (
), a pressão em um ponto a distância
da base é
. A força horizontal elementar sobre uma faixa infinitesimal de altura
e largura
é
. Então a força resultante
é a integral dessa força ao longo da altura:
Calcule a integral:
Portanto, por unidade de comprimento (1 m) a força hidrostática resultante é
.
Passo 3
Agora precisamos da linha de ação dessa força (onde ela age verticalmente). Para uma distribuição triangular (pressão zero no topo e
na base), o centro de pressão (centro da área triangular) fica a uma distância
acima da base. Ou seja, a força
age horizontalmente na altura
medida a partir da base. Isso é um resultado padrão e pode ser obtido calculando o momento estático da distribuição; aqui eu uso o resultado: linha de ação em
da base.
Passo 4
Calcule agora o peso da barragem (resistência ao tombamento). A seção transversal considerada é retangular de altura
e base
, com espessura
. O peso (força peso) por unidade de comprimento é
Esse peso atua no centro geométrico da seção retangular, ou seja, a uma distância horizontal de
da face upstream (
). O pivô de tombamento é o pé downstream em
, então o braço horizontal entre a linha de ação do peso e o pivô é
Passo 5
Escrevemos os momentos (tendências de rotação) em torno do pivô no pé downstream (toe). O momento que tende a tombar a barragem (momento provocada pela força da água) é a força horizontal
multiplicada pelo braço vertical até o pivô, que é
. Assim:
O momento resistente devido ao peso é
Para evitar tombamento precisamos que o momento resistente seja pelo menos igual ao momento tombante:
Passo 6
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar cancelando
de ambos os lados (assumindo
):
Multiplicando por
:
Isolando
:
Tomando raiz positiva (porque
é comprimento positivo):
Essa é a expressão que dá a menor largura
em função de
para evitar tombamento (resultado simbólico solicitado).
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos para obter uma forma prática. Usando
e
:
Calcule a fração:
e a raiz:
Arredondando de forma conveniente,
Ou seja, a largura mínima da barragem (por metro de comprimento) que impede tombamento é cerca de
da profundidade de água
.