Considerando a possibilidade de tombamento, determine uma expressão que encontre a distância b da barragem em função da profundidade de água h. Determine a menor distância b da barragem de concreto por gravidade que impedirá que a barragem tombe devido à pressão da água atuando sobre sua face vertical. O peso específico do concreto é 23,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Resolva o problema usando uma largura de 1 m da barragem.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: uma expressão que dê a distância b da barragem em função da profundidade de água h e, com essa expressão, encontrar o menor valor de b que impede o tombamento causado pela pressão da água.
Dados e convenções que vou usar (tudo fornecido ou padrão): \gamma_{c}=23{,}5\\ \mathrm{kN/m^{3}} (peso específico do concreto, dado), largura (espessura) da barragem igual a 1\\ \mathrm{m} (dado), e peso específico da água assumido como \gamma_{w}=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}} (valor padrão).
Definições de geometria (convenção usada aqui): a face voltada para a água é vertical em x=0, a face oposta está em x=b, a altura da barragem na qual age a água é h. O pivô de tombamento considerado é o pé (toe) downstream na aresta inferior x=b.

Passo 2

Vamos calcular a força resultante da pressão hidrostática na face vertical. A pressão em profundidade y (medida a partir do topo? melhor medir a partir da base para ser consistente) cresce linearmente com a profundidade. Usando y medido desde a base (0) até o topo ( h), a pressão em um ponto a distância y da base é \;p(y)=\gamma_{w}\,y\;. A força horizontal elementar sobre uma faixa infinitesimal de altura \mathrm{d}y e largura 1\\ \mathrm{m} é \mathrm{d}F = p(y)\cdot 1\cdot \mathrm{d}y = \gamma_{w}\,y\,\mathrm{d}y. Então a força resultante P é a integral dessa força ao longo da altura:
P=\int_{0}^{h}\gamma_{w}\,y\,\mathrm{d}y.
Calcule a integral:
P=\gamma_{w}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{h}=\frac{1}{2}\,\gamma_{w}\,h^{2}.
Portanto, por unidade de comprimento (1 m) a força hidrostática resultante é \;P=\dfrac{1}{2}\gamma_{w}h^{2}\;.

Passo 3

Agora precisamos da linha de ação dessa força (onde ela age verticalmente). Para uma distribuição triangular (pressão zero no topo e \gamma_{w}h na base), o centro de pressão (centro da área triangular) fica a uma distância \dfrac{h}{3} acima da base. Ou seja, a força P age horizontalmente na altura y=\dfrac{h}{3} medida a partir da base. Isso é um resultado padrão e pode ser obtido calculando o momento estático da distribuição; aqui eu uso o resultado: linha de ação em h/3 da base.

Passo 4

Calcule agora o peso da barragem (resistência ao tombamento). A seção transversal considerada é retangular de altura h e base b, com espessura 1\\ \mathrm{m}. O peso (força peso) por unidade de comprimento é
W=\gamma_{c}\cdot(\text{volume por 1 m})=\gamma_{c}\,b\,h.
Esse peso atua no centro geométrico da seção retangular, ou seja, a uma distância horizontal de b/2 da face upstream ( x=0). O pivô de tombamento é o pé downstream em x=b, então o braço horizontal entre a linha de ação do peso e o pivô é
\text{braço}_{W}=b - \frac{b}{2}=\frac{b}{2}.ç

Passo 5

Escrevemos os momentos (tendências de rotação) em torno do pivô no pé downstream (toe). O momento que tende a tombar a barragem (momento provocada pela força da água) é a força horizontal P multiplicada pelo braço vertical até o pivô, que é h/3. Assim:
M_{\text{tomb}} = P\cdot\frac{h}{3}=\left(\frac{1}{2}\gamma_{w}h^{2}\right)\cdot\frac{h}{3}=\frac{\gamma_{w}h^{3}}{6}.
O momento resistente devido ao peso é
M_{\text{res}} = W\cdot\frac{b}{2}=\left(\gamma_{c}b h\right)\cdot\frac{b}{2}=\frac{\gamma_{c}h\,b^{2}}{2}.
Para evitar tombamento precisamos que o momento resistente seja pelo menos igual ao momento tombante:
M_{\text{res}}\ge M_{\text{tomb}}.

Passo 6

Substituindo as expressões:
\frac{\gamma_{c}h\,b^{2}}{2}\ge \frac{\gamma_{w}h^{3}}{6}.
Podemos simplificar cancelando h de ambos os lados (assumindo h>0):
\frac{\gamma_{c}b^{2}}{2}\ge \frac{\gamma_{w}h^{2}}{6}.
Multiplicando por 2:
\gamma_{c}b^{2}\ge \frac{\gamma_{w}h^{2}}{3}.
Isolando b^{2}:
b^{2}\ge \frac{\gamma_{w}}{3\gamma_{c}}\,h^{2}.
Tomando raiz positiva (porque b é comprimento positivo):
b\ge h\sqrt{\frac{\gamma_{w}}{3\gamma_{c}}}.
Essa é a expressão que dá a menor largura b em função de h para evitar tombamento (resultado simbólico solicitado).

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos para obter uma forma prática. Usando \gamma_{w}=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}} e \gamma_{c}=23{,}5\\ \mathrm{kN/m^{3}}:
b\ge h\sqrt{\frac{9{,}81}{3\cdot 23{,}5}}=h\sqrt{\frac{9{,}81}{70{,}5}}.
Calcule a fração:
\frac{9{,}81}{70{,}5}\approx 0{,}13915,
e a raiz:
\sqrt{0{,}13915}\approx 0{,}37315.
Arredondando de forma conveniente,
b_{\min}\approx 0{,}373\,h.
Ou seja, a largura mínima da barragem (por metro de comprimento) que impede tombamento é cerca de 37{,}3\% da profundidade de água h.

Resposta

b(h)=h\sqrt{\dfrac{\gamma_{w}}{3\gamma_{c}}}\n
b_{\min}\approx 0{,}373\,h

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