Calculo as seguintes integrais por frações parciais:
integral x^3+4x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral de x^3+4x^2+1 em relação a x. Vamos usar o método de frações parciais para resolver isso. Primeiro, precisamos entender que quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a gente faz uma divisão polinomial pra simplificar a expressão antes de aplicar as frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir x^3 + 4 por x^2 + 1. Fazendo a divisão:
x^3 + 4x^2 + 1 = x + -x + 4x^2 + 1
Então, a integral fica:
integral x^3+4x^2+1 dx = integral x , dx + integral -x + 4x^2+1 dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada parte separadamente.
  1. Integral de x:
integral x , dx = x^22
  1. Integral de -xx^2+1:
Para essa parte, reconhecemos que a derivada de x^2 + 1 é 2x, então podemos usar uma substituição simples.
integral -xx^2+1 dx = -12 ln(x^2 + 1)
  1. Integral de 4x^2+1:
Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente.
integral 4x^2+1 dx = 4 arctan(x)

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
x^22 - 12 ln(x^2 + 1) + 4 arctan(x) + C
Onde C é a constante de integração.

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