O cálculo do tempo até um falha de um determinado produto pode ser modelado como uma distribuição exponencial com média de 25.000 horas. Qual a probabilidade do tempo de vida deste produto exceder o valor médio em mais de 3 desvios padrâo?
f(x ; \lambda)=\lambda e^{-\lambda x} \quad F(x ; \lambda)=1-e^{-\lambda x} \quad E(X)=1 / \lambda \quad V(X)=1 / \lambda^{2}
\begin{array}{rr} 25000=\frac{1}{\lambda} \quad \lambda=0,00004 \quad \sigma=\sqrt{V(x)} \\\ \sigma=\frac{1}{\lambda} \end{array}
P(x>\mu+3 \sigma) \quad \begin{array}{ll} & 25000+75000 \\\ & 100000 \end{array}
\begin{aligned} 1-\left(1-e^{-4}\right)= & 1-(1-0,01831) \\\ & 1-(+0,98168) \end{aligned}
0,01831

Passo 1

O enunciado diz que o tempo até a falha X segue uma distribuição exponencial com média \mu=25000 horas e pede a probabilidade de X exceder \mu+3\sigma. Vamos usar as fórmulas
E(X)=\frac{1}{\lambda},\quad V(X)=\frac{1}{\lambda^2},\quad P(X>t)=e^{-\lambda t}.

Passo 2

Da média \mu=E(X)=1/\lambda=25000, obtemos
\lambda = \frac{1}{25000} = 0,00004.

Passo 3

A variância é V(X)=1/\lambda^2, logo o desvio padrão é
\sigma = \sqrt{V(X)} = \frac{1}{\lambda} = 25000.

Passo 4

O ponto de corte é
t = \mu + 3\sigma = 25000 + 3\cdot25000 = 100000.

Passo 5

A probabilidade de exceder t na exponencial é
P(X>100000) = e^{-\lambda \,100000} = e^{-0,00004\cdot100000} = e^{-4}\approx0,0183.

Resposta

0,0183 (aproximadamente)

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