[1,5\) ponto \(]\) Seja a seguinte função: \(f(x)= \begin{cases}\frac{k}{x^{4}} & x>1 \\\\ 0 & x \leq 1\end{cases}
(a) Determine o valor de k para o qual f(x) é uma fdp legitima.
(b) Obtenha a funçăo distribuição acumulada.

Passo 1

O enunciado dá uma função de densidade de probabilidade f\) definida por \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{k}{x^{4}},&x>1,\\\\ 0,&x\le1. \end{cases}
O objetivo é (a) achar k\] para que \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1 e (b) obter a função distribuição acumulada
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.

Passo 2

Para que f seja uma fdp legítima precisamos que ela seja não-negativa (já é, se k>0) e que
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.
Como f(x)=0 para x\le1, basta garantir
\int_{1}^{\infty}\frac{k}{x^{4}}\,dx=1.

Passo 3

Calculemos a integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{k}{x^{4}}\,dx = k\int_{1}^{\infty}x^{-4}\,dx = k\Bigl[-\tfrac{1}{3}x^{-3}\Bigr]_{1}^{\infty} = k\bigl(0-(-\tfrac{1}{3})\bigr) =\frac{k}{3}.
Logo, exigindo \frac{k}{3}=1, obtemos
k=3.

Passo 4

Agora vamos achar a distribuição acumulada
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.
Para x\le1, não há massa de probabilidades abaixo de 1, então
F(x)=0\quad\text{se }x\le1.

Passo 5

Para x>1, temos
F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt =\int_{-\infty}^{1}0\,dt+\int_{1}^{x}\frac{3}{t^{4}}\,dt =\int_{1}^{x}3t^{-4}\,dt.
Integramos:
\int_{1}^{x}3t^{-4}\,dt =3\Bigl[-\tfrac{1}{3}t^{-3}\Bigr]_{1}^{x} =-\bigl(t^{-3}\bigr)\Big|_{1}^{x} =-(x^{-3}-1) =1-\frac{1}{x^{3}}.
Portanto, para x>1,
F(x)=1-\frac{1}{x^{3}}.

Resposta

(a) k=3.
(b)
F(x)= \begin{cases} 0,&x\le1,\\\\ 1-\dfrac{1}{x^{3}},&x>1. \end{cases}

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