1. [1,5\) ponto \(]\) Seja a seguinte função: \(f(x)= \begin{cases}\frac{k}{x^{4}} & x>1 \\\\ 0 & x \leq 1\end{cases}
(a) Determine o valor de k para o qual f(x) é uma fdp legitima.
(b) Obtenha a funçăo distribuição acumulada.
2. [0,5 ponto] Se X-N( \mu, \sigma^{2} ) com média 80 e desvio padrâo 10 , qual o 86^{\circ} percentil?

Passo 1

O enunciado apresenta uma fdp em parte contínua e pede (a) o valor de k que normaliza a função e (b) a função de distribuição acumulada F(x). Depois, solicita o 86^{\circ} percentil de X\sim N(\mu=80,\sigma^2=100). Vamos usar integração imprópria para normalização, definição de CDF e tabelas da normal padrão para o percentil.

Passo 2

Para que f(x) seja uma fdp legítima, deve valer
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{k}{x^{4}}\,dx = 1.
Calculando a integral imprópria,
\int_{1}^{\infty} x^{-4}\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{3}x^{-3}\Bigr]_{1}^{\infty} = 0 - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \tfrac{1}{3}.
Logo
k\cdot \tfrac{1}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad k = 3.

Passo 3

A CDF é definida por
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t\le1 temos
F(x)=0, \quad x\le1.
Para x>1,
F(x) = \int_{1}^{x} \frac{3}{t^{4}}\,dt = 3\Bigl[-\tfrac{1}{3}t^{-3}\Bigr]_{1}^{x} = 1 - x^{-3}.
Note que \lim_{x\to\infty}F(x)=1, como deve ser.

Passo 4

Para achar o 86^{\circ} percentil de X\sim N(80,10^2), escrevemos
x_{0,86} = \mu + z_{0,86}\,\sigma,
onde z_{0,86} satisfaz \Phi(z_{0,86})=0,86. Da tabela da normal padrão,
z_{0,86}\approx 1,08.
Assim
x_{0,86} = 80 + 1,08\cdot 10 = 80 + 10,8 = 90,8.

Resposta

(a) k = 3\). (b) \[F(x)= \begin{cases} 0, & x\le1,\\[6pt] 1 - x^{-3}, & x>1. \end{cases}
2\]. O \(86^{\circ} percentil é aproximadamente 90,8.]

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