Calculo o tempo necessário para converter 99 \% de ureia em amônia e dióxido de carbono em um reator de 0,5 \mathrm{dm}^{3}. A concentração inicial de ureia é de 0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3} e a concentração de uréase é de 0,001 \mathrm{g} / \mathrm{dm}^{3}. A reação deve ser realizada isotermicamente.
U R E I A+E N Z I M A \leftrightarrow C O M P L E X O \rightarrow 2 \mathrm{NH}_{3}+\mathrm{CO}_{2}+E N Z I M A
DADOS ADICIONAIS: \mathrm{Km}=0,0266 \mathrm{~mol} / \mathrm{dm}^{3} e \mathrm{k}_{3}=0,266 \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o tempo necessário para converter 99\% da ureia em amônia e dióxido de carbono num reator de 0{,}5\\ \mathrm{dm}^3.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Concentração inicial de ureia: } [S]_0 = 0{,}1\\ \mathrm{mol/dm^3}.\\\ &\text{Volume do reator: } V = 0{,}5\\ \mathrm{dm^3}\\ (\text{não será necessária para a cinética por unidade de volume}).\\\ &\text{Concentração de enzima (informada em massa): } c_{E,\text{mass}} = 0{,}001\\ \mathrm{g/dm^3}.\\\ &\text{Constante de Michaelis: } K_m = 0{,}0266\\ \mathrm{mol/dm^3}.\\\ &\text{Constante } k_3 = 0{,}266\\ \mathrm{s^{-1}} \\ (\text{interpreto como } k_{\text{cat}}).\\\ &\text{Objetivo: tempo } t \text{ para que } [S](t) = 0{,}01 [S]_0 \\ (\text{99\% convertido}). \end{aligned}çããááéçã
Observação importante (não vou perguntar nada): a concentração de enzima foi dada em gramas por decímetro cúbico. Para usar V_{\max}=k_{\text{cat}}[E]_T precisamos da concentração molar total da enzima [E]_T em \mathrm{mol/dm^3}. Isso exige a massa molar da enzima M_E (em \mathrm{g/mol}), que não foi fornecida. Vou então:
  • Derivar a solução geral dependente de M_E (para você poder substituir o valor correto), e
  • Mostrar o caso numérico quando a concentração de enzima for interpretada como 0{,}001\\ \mathrm{mol/dm^3} (caso comum de interpretação), para termos um número concreto.

Passo 2

Modelo cinético que usamos (explicação didática):
A reação segue o mecanismo de Michaelis–Menten. Em palavras simples: a enzima se liga ao substrato formando um complexo e depois libera produto e a enzima livre. Em regime onde podemos aplicar Michaelis–Menten (enzima em baixa concentração e rapidez do complexo vs tempo de observação), a velocidade instantânea de consumo de substrato é
v(t) = -\frac{d[S]}{dt} = \frac{V_{\max}[S]}{K_m + [S]},
onde:
  • [S] é a concentração de substrato (ureia) em \mathrm{mol/dm^3},
  • K_m é a constante de Michaelis em \mathrm{mol/dm^3},
  • V_{\max} = k_{\text{cat}} [E]_T é a velocidade máxima (unidade \mathrm{mol/(dm^3\cdot s)}),
  • k_{\text{cat}} (aqui dado como k_3) tem unidade \mathrm{s^{-1}} e representa o número de moléculas de substrato convertidas por sítio enzimático por segundo quando a enzima está saturada,
  • [E]_T é a concentração total de enzima em \mathrm{mol/dm^3}.
A ligação entre a concentração de enzima em massa e em molar é
[E]_T = \frac{c_{E,\text{mass}}}{M_E},
onde M_E é a massa molar da enzima em \mathrm{g/mol} e c_{E,\text{mass}} é a concentração em \mathrm{g/dm^3}.

Passo 3

Equação diferencial e sua integração (passo a passo matemático):
Partimos de
-\frac{d[S]}{dt} = \frac{V_{\max}[S]}{K_m + [S]}.
Separamos as variáveis:
\frac{K_m + [S]}{[S]} \, d[S] = -V_{\max}\, dt.
Escrevendo \dfrac{K_m + [S]}{[S]} = \dfrac{K_m}{[S]} + 1, integramos ambos os lados entre t=0 ( [S]=[S]_0) e t=t ( [S]=[S]):
\int_{[S]_0}^{[S]} \left(\frac{K_m}{[S]} + 1\right) d[S] = -\int_{0}^{t} V_{\max} \, dt.
Calculando as integrais:
K_m \ln\left(\frac{[S]}{[S]_0}\right) + ([S] - [S]_0) = -V_{\max} t.
Rearranjando para t:
t = \frac{1}{V_{\max}}\left(K_m \ln\left(\frac{[S]_0}{[S]}\right) + ([S]_0 - [S])\right).
Essa é a fórmula integrada de Michaelis–Menten que nos dá o tempo para ir de [S]_0 a [S].

Passo 4

Aplicando o objetivo [S] = 0{,}01 [S]_0 (99% convertido) e avaliando o numerador (contas detalhadas):
[S] = 0{,}01 [S]_0 \quad\Rightarrow\quad \frac{[S]_0}{[S]} = \frac{1}{0{,}01} = 100.
Substituindo [S]_0 = 0{,}1\\ \mathrm{mol/dm^3} e K_m = 0{,}0266\\ \mathrm{mol/dm^3} no numerador:
\begin{aligned} N &\equiv K_m \ln\left(\frac{[S]_0}{[S]}\right) + ([S]_0 - [S]) \\\ &= 0{,}0266 \ln(100) + 0{,}1 - 0{,}01\cdot 0{,}1 \\\ &= 0{,}0266 \times 4{,}605170186\dots + 0{,}099 \\\ &\approx 0{,}12244 + 0{,}099 \\\ &= 0{,}22144\\ \mathrm{mol/dm^3}. \end{aligned}

Passo 5

Expressando V_{\max} e o tempo em função de M_E (caso em que a enzima foi dada em gramas):
\begin{aligned} [V_{\max}] &= k_{\text{cat}} [E]_T = k_3 \cdot \frac{c_{E,\text{mass}}}{M_E}.\\\ \text{Com } k_3 &= 0{,}266\\ \mathrm{s^{-1}},\\ c_{E,\text{mass}} = 0{,}001\\ \mathrm{g/dm^3},\\\ V_{\max} &= 0{,}266 \cdot \frac{0{,}001}{M_E} = \frac{0{,}000266}{M_E}\\ \mathrm{mol/(dm^3\cdot s)}. \end{aligned}
Substituindo na fórmula do tempo:
t = \frac{N}{V_{\max}} = \frac{0{,}22144}{0{,}000266/M_E} = 833{,}3835\; M_E \\ \text{(segundos)},
onde M_E está em \mathrm{g/mol}. Ou seja:
\boxed{t \approx 833{,}3835\; M_E \\ \mathrm{s}.}
Isso significa que sem o valor da massa molar da enzima não podemos dar um tempo numérico absoluto; o tempo escala linearmente com M_E.

Passo 6

Caso com interpretação alternativa (se a concentração de enzima foi, na prática, 0{,}001\\ \mathrm{mol/dm^3} em vez de 0{,}001\\ \mathrm{g/dm^3}):
Se [E]_T = 0{,}001\\ \mathrm{mol/dm^3} então
V_{\max} = k_3 [E]_T = 0{,}266 \times 0{,}001 = 0{,}000266\\ \mathrm{mol/(dm^3\cdot s)}.
Assim
t = \frac{0{,}22144}{0{,}000266} \approx 833{,}3835\\ \mathrm{s} \approx 13{,}89\\ \text{min}.
Esse é um valor numérico concreto que vale somente se a concentração enzimática for 0{,}001\\ \mathrm{mol/dm^3} (o que corresponde a 1{,}0\\ \mathrm{mmol/dm^3}, uma concentração relativamente alta).
Comentário prático (motivacional): se a concentração informada realmente for 0{,}001\\ \mathrm{g/dm^3}, e a enzima tiver massa molar típica de proteínas (por exemplo M_E\sim 5\times 10^4 a 1\times 10^5\\ \mathrm{g/mol}), o tempo calculado pela fórmula do Passo 5 será enorme (dias a anos). Isso só reforça que é crucial saber se a concentração foi dada em massa ou em molar — ou então saber a massa molar da urease usada.

Resposta

t \approx 833{,}3835\; M_E\\ \mathrm{s}, onde M_E é a massa molar da enzima em \mathrm{g/mol}.
Se a concentração enzimática for 0{,}001\\ \mathrm{mol/dm^3} (interpretação alternativa), então t \approx 833{,}38\\ \mathrm{s} \approx 13{,}89\\ \text{min}.

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