Calculo o tempo necessário para converter
de ureia em amônia e dióxido de carbono em um reator de
. A concentração inicial de ureia é de
e a concentração de uréase é de 0,001
. A reação deve ser realizada isotermicamente.
DADOS ADICIONAIS:
e
Passo 1
O que o problema pede: calcular o tempo necessário para converter
da ureia em amônia e dióxido de carbono num reator de
.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
Observação importante (não vou perguntar nada): a concentração de enzima foi dada em gramas por decímetro cúbico. Para usar
precisamos da concentração molar total da enzima
em
. Isso exige a massa molar da enzima
(em
), que não foi fornecida. Vou então:
- Derivar a solução geral dependente de
(para você poder substituir o valor correto), e - Mostrar o caso numérico quando a concentração de enzima for interpretada como
(caso comum de interpretação), para termos um número concreto.
Passo 2
Modelo cinético que usamos (explicação didática):
A reação segue o mecanismo de Michaelis–Menten. Em palavras simples: a enzima se liga ao substrato formando um complexo e depois libera produto e a enzima livre. Em regime onde podemos aplicar Michaelis–Menten (enzima em baixa concentração e rapidez do complexo vs tempo de observação), a velocidade instantânea de consumo de substrato é
A reação segue o mecanismo de Michaelis–Menten. Em palavras simples: a enzima se liga ao substrato formando um complexo e depois libera produto e a enzima livre. Em regime onde podemos aplicar Michaelis–Menten (enzima em baixa concentração e rapidez do complexo vs tempo de observação), a velocidade instantânea de consumo de substrato é
onde:
-
é a concentração de substrato (ureia) em , -
é a constante de Michaelis em , -
é a velocidade máxima (unidade ), -
(aqui dado como ) tem unidade e representa o número de moléculas de substrato convertidas por sítio enzimático por segundo quando a enzima está saturada, -
é a concentração total de enzima em .
A ligação entre a concentração de enzima em massa e em molar é
onde
é a massa molar da enzima em
e
é a concentração em
.
Passo 3
Equação diferencial e sua integração (passo a passo matemático):
Partimos de
Partimos de
Separamos as variáveis:
Escrevendo
, integramos ambos os lados entre
(
) e
(
):
Calculando as integrais:
Rearranjando para
:
Essa é a fórmula integrada de Michaelis–Menten que nos dá o tempo para ir de
a
.
Passo 4
Aplicando o objetivo
(99% convertido) e avaliando o numerador (contas detalhadas):
Substituindo
e
no numerador:
Passo 5
Expressando
e o tempo em função de
(caso em que a enzima foi dada em gramas):
Substituindo na fórmula do tempo:
onde
está em
. Ou seja:
Isso significa que sem o valor da massa molar da enzima não podemos dar um tempo numérico absoluto; o tempo escala linearmente com
.
Passo 6
Caso com interpretação alternativa (se a concentração de enzima foi, na prática,
em vez de
):
Se então
Se
Assim
Esse é um valor numérico concreto que vale somente se a concentração enzimática for
(o que corresponde a
, uma concentração relativamente alta).
Comentário prático (motivacional): se a concentração informada realmente for
, e a enzima tiver massa molar típica de proteínas (por exemplo
a
), o tempo calculado pela fórmula do Passo 5 será enorme (dias a anos). Isso só reforça que é crucial saber se a concentração foi dada em massa ou em molar — ou então saber a massa molar da urease usada.
Resposta
Se a concentração enzimática for