Um carboidrato (S) se decompõe na presença de uma enzima (E). Os parâmetros de MichaelisMenten para essa decomposição são:
e
.
a) Calcule a variação da concentração de substrato com o tempo em um reator em batelada com
no tempo igual a 10 min .
b) Assumindo que você obteve os dados de
experimentalmente, como você poderia obter os valores de Km e
?
c) Se fosse utilizado um CSTR com Cso é igual a
e a vazão volumétrica é de
, qual a concentração de substrato no estado estacionário? O volume do reator é
. Assuma que a concentração de enzima no reator é constante, assim os mesmos parâmetros cinéticos podem ser utilizados.
a) Calcule a variação da concentração de substrato com o tempo em um reator em batelada com
b) Assumindo que você obteve os dados de
c) Se fosse utilizado um CSTR com Cso é igual a
Passo 1
O enunciado dá a decomposição enzimática do substrato
com parâmetros de Michaelis–Menten e pede três coisas. Dados fornecidos:
Perguntas:
a) Calcular a variação da concentração do substrato com o tempo em um reator batelada e, em particular, o valor de no tempo
.
b) Supondo que você tenha medido experimentalmente , como obter
e
? (descreva o procedimento).
c) Para um CSTR com , vazão volumétrica
e volume
, encontrar a concentração de substrato no estado estacionário, assumindo que a cinética enzimática é a mesma.
a) Calcular a variação da concentração do substrato com o tempo em um reator batelada e, em particular, o valor de
b) Supondo que você tenha medido experimentalmente
c) Para um CSTR com
Passo 2
Primeiro, a lei de velocidade de Michaelis–Menten (para consumo de substrato) é:
onde
-
é a velocidade de consumo do substrato em , -
é a velocidade máxima (quando a enzima está saturada), -
é a constante de Michaelis (concentração no meio da curva), -
é a concentração do substrato em .
No reator batelada, não há fluxo de entrada/saída, então a equação de balanço para o substrato é
Explico: o lado direito é negativo porque a reação consome substrato; essa é uma equação diferencial ordinária separável.
Passo 3
Vamos resolver a ODE separando variáveis. Começamos com
onde, para clareza, escrevo
em vez de
. Reorganizando:
Note que
. Integramos ambos os lados entre
(com
) e
(com
):
As integrais são diretas:
Isto resulta na expressão implícita
Essa é a solução implícita para
. Nota: é implícita porque
aparece dentro de
e isolá-la analiticamente exige funções especiais; normalmente resolve-se numericamente para
.
Passo 4
Agora aplicamos os números para o item (a). Substituindo
,
,
e
na expressão implícita:
Simplificando:
Definimos a função
e procuramos
tal que
. Essa equação é transcendental; vamos resolver numericamente. Um método simples e robusto é o método da bisecção (ou Newton se preferir). Vou mostrar uma resolução por busca/afunilamento (bisseção) porque é estável:
- Testes iniciais mostram
(negativo) e (positivo), logo existe raiz no intervalo . - Afunilando o intervalo e avaliando
em pontos intermediários obtemos a raiz aproximada: -
, -
.
-
Interpolando linearmente entre esses valores (ou continuar a bissecção) dá a raiz aproximada
Verificação rápida: substituindo
na equação implícita dá praticamente
no lado direito (dentro do erro de arredondamento), portanto a solução é consistente.
Comentário prático: é esperado que a concentração caia bastante porque a velocidade inicial é grande (para
temos
) e, apesar de diminuir com o tempo, em 10 min consome boa parte do substrato.
Passo 5
Agora o item (b): como obter
e
a partir de dados experimentais de
.
Procedimento prático e didático:
-
Estime velocidades instantâneas
a partir dos dados . Para dados discretos use diferenças finitas: ou, para melhor precisão central,Essessão estimativas da velocidade quando a concentração é aproximadamente (por exemplo ou a média entre e ). -
Use a linearização de Lineweaver–Burk (dupla-Recíproca). A partir detomando recíproco obtemos a relação linear:Então plote
versus e ajuste uma reta por regressão linear. Da reta ajustada: - o coeficiente angular (slope) vale
, - o intercepto vale
.
Assim:
- o coeficiente angular (slope) vale
-
Comentários e alternativas:
- A linearização Lineweaver–Burk enfatiza erros em pequenas concentrações; outras linearizações (Hanes–Woolf, Eadie–Hofstee) têm vantagens numéricas diferentes. Ex.: Eadie–Hofstee usa
versus : o que também dá uma reta cujos coeficientes permitem obter e . - O método mais moderno e preciso é ajuste não-linear direto (regressão não-linear) da equação de Michaelis–Menten aos pares
; esse método minimiza erros diretamente e evita vieses das linearizações. - Importante: obter
requer dados com boa resolução temporal e métodos adequados de diferenciação (suavização ou ajuste local) para não amplificar ruído experimental.
- A linearização Lineweaver–Burk enfatiza erros em pequenas concentrações; outras linearizações (Hanes–Woolf, Eadie–Hofstee) têm vantagens numéricas diferentes. Ex.: Eadie–Hofstee usa
Passo 6
Agora o item (c): CSTR no estado estacionário. Para um CSTR em regime permanente o balanço do substrato é:
Com vazão
e volume
, isso fica
Dividindo por
definimos a taxa de diluição
(unidade
) e obtemos
Calcule
. Convertendo (opcional)
e
, temos
Substituindo
,
,
,
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Expandindo:
Multiplicando por
:
Resolvendo a quadrática:
A raiz positiva (física) é
A outra raiz é negativa e não tem significado físico para concentração.
Resposta
(a)
\n
(b) Estime velocidades de
por diferenças finitas; plote
versus
(Lineweaver–Burk). Da regressão linear: intercepto
e coeficiente angular
. Assim
e
. Alternativa melhor: ajuste não-linear direto da equação de Michaelis–Menten. \n
(c) Concentração de substrato no estado estacionário do CSTR: .
(b) Estime velocidades
(c) Concentração de substrato no estado estacionário do CSTR: