Um carboidrato (S) se decompõe na presença de uma enzima (E). Os parâmetros de MichaelisMenten para essa decomposição são: \mathrm{Km}=200 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{r}_{\text {máx }}=100 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{~min}á.
a) Calcule a variação da concentração de substrato com o tempo em um reator em batelada com \mathrm{C}_{\mathrm{S} 0}= 300 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} no tempo igual a 10 min .
b) Assumindo que você obteve os dados de \mathrm{C}_{\mathrm{s}} experimentalmente, como você poderia obter os valores de Km e \mathrm{r}_{\text {máx }}á ?
c) Se fosse utilizado um CSTR com Cso é igual a 300 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} e a vazão volumétrica é de 100 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}, qual a concentração de substrato no estado estacionário? O volume do reator é 300 \mathrm{~cm}^{3}. Assuma que a concentração de enzima no reator é constante, assim os mesmos parâmetros cinéticos podem ser utilizados.

Passo 1

O enunciado dá a decomposição enzimática do substrato S com parâmetros de Michaelis–Menten e pede três coisas. Dados fornecidos:
K_m = 200\\ \mathrm{g/m^{3}},\qquad r_{\text{máx}} = 100\\ \mathrm{g/m^{3}\,min},á
C_{S0}=300\\ \mathrm{g/m^{3}}.
Perguntas:
a) Calcular a variação da concentração do substrato com o tempo em um reator batelada e, em particular, o valor de C_S no tempo t=10\\ \mathrm{min}.
b) Supondo que você tenha medido experimentalmente C_S(t), como obter K_m e r_{\text{máx}}á? (descreva o procedimento).
c) Para um CSTR com C_{S0}=300\\ \mathrm{g/m^{3}}, vazão volumétrica q=100\\ \mathrm{cm^{3}/min} e volume V=300\\ \mathrm{cm^{3}}, encontrar a concentração de substrato no estado estacionário, assumindo que a cinética enzimática é a mesma.

Passo 2

Primeiro, a lei de velocidade de Michaelis–Menten (para consumo de substrato) é:
r(C_S) = r_{\text{máx}}\;\frac{C_S}{K_m + C_S},á
onde
  • r(C_S) é a velocidade de consumo do substrato em \mathrm{g/m^{3}\,min},
  • r_{\text{máx}}á é a velocidade máxima (quando a enzima está saturada),
  • K_m é a constante de Michaelis (concentração no meio da curva),
  • C_S é a concentração do substrato em \mathrm{g/m^{3}}.
No reator batelada, não há fluxo de entrada/saída, então a equação de balanço para o substrato é
\frac{dC_S}{dt} = -r(C_S) = -r_{\text{máx}}\;\frac{C_S}{K_m + C_S}.á
Explico: o lado direito é negativo porque a reação consome substrato; essa é uma equação diferencial ordinária separável.

Passo 3

Vamos resolver a ODE separando variáveis. Começamos com
\frac{dC}{dt} = -r_{\text{máx}}\;\frac{C}{K_m + C},á
onde, para clareza, escrevo C em vez de C_S. Reorganizando:
\frac{K_m + C}{C}\,dC = -r_{\text{máx}}\,dt.á
Note que \dfrac{K_m + C}{C} = 1 + \dfrac{K_m}{C}. Integramos ambos os lados entre t=0 (com C=C_0) e t=t (com C=C(t)):
\int_{C_0}^{C(t)}\left(1+\frac{K_m}{C}\right)dC = -\int_{0}^{t} r_{\text{máx}}\,dt.á
As integrais são diretas:
\bigl[C\bigr]_{C_0}^{C(t)} + K_m\bigl[\ln C\bigr]_{C_0}^{C(t)} = -r_{\text{máx}}\,t.á
Isto resulta na expressão implícita
C(t) - C_0 + K_m\ln\!\Bigl(\frac{C(t)}{C_0}\Bigr) = -r_{\text{máx}}\,t.á
Essa é a solução implícita para C(t). Nota: é implícita porque C(t) aparece dentro de \ln e isolá-la analiticamente exige funções especiais; normalmente resolve-se numericamente para C(t).

Passo 4

Agora aplicamos os números para o item (a). Substituindo K_m=200, r_{\text{máx}}=100á, C_0=300 e t=10 na expressão implícita:
C(10) - 300 + 200\ln\!\Bigl(\frac{C(10)}{300}\Bigr) = -100\cdot 10 = -1000.
Simplificando:
C(10) + 200\ln\!\Bigl(\frac{C(10)}{300}\Bigr) = -700.
Definimos a função
f\text{(C)} = C + 200\ln\!\Bigl(\frac{C}{300}\Bigr) + 700,
e procuramos C>0 tal que f\text{(C)}=0. Essa equação é transcendental; vamos resolver numericamente. Um método simples e robusto é o método da bisecção (ou Newton se preferir). Vou mostrar uma resolução por busca/afunilamento (bisseção) porque é estável:
  • Testes iniciais mostram f(8)= -16{,}8 (negativo) e f(9)=+7{,}688 (positivo), logo existe raiz no intervalo [8,9].
  • Afunilando o intervalo e avaliando f em pontos intermediários obtemos a raiz aproximada:
    • C=8{,}64\Rightarrow f(8{,}64)\approx -0{,}12,
    • C=8{,}65\Rightarrow f(8{,}65)\approx +0{,}21.
Interpolando linearmente entre esses valores (ou continuar a bissecção) dá a raiz aproximada
C(10) \approx 8{,}646\\ \mathrm{g/m^{3}}.
Verificação rápida: substituindo C\approx 8{,}646 na equação implícita dá praticamente -1000 no lado direito (dentro do erro de arredondamento), portanto a solução é consistente.
Comentário prático: é esperado que a concentração caia bastante porque a velocidade inicial é grande (para C_0=300 temos r(0)=100\cdot 300/(200+300)=60\\ \mathrm{g/m^{3}\,min}) e, apesar de diminuir com o tempo, em 10 min consome boa parte do substrato.

Passo 5

Agora o item (b): como obter K_m e r_{\text{máx}}á a partir de dados experimentais de C_S(t).
Procedimento prático e didático:
  1. Estime velocidades instantâneas r_i a partir dos dados C(t). Para dados discretos use diferenças finitas:
    r_i \approx -\frac{C(t_{i+1})-C(t_i)}{t_{i+1}-t_i}
    ou, para melhor precisão central,
    r_i \approx -\frac{C(t_{i+1})-C(t_{i-1})}{t_{i+1}-t_{i-1}}.
    Esses r_i são estimativas da velocidade quando a concentração é aproximadamente C_i (por exemplo C_i=C(t_i) ou a média entre C(t_{i}) e C(t_{i+1})).
  2. Use a linearização de Lineweaver–Burk (dupla-Recíproca). A partir de
    r = r_{\text{máx}}\frac{C}{K_m+C},á
    tomando recíproco obtemos a relação linear:
    \frac{1}{r} = \frac{K_m}{r_{\text{máx}}}\cdot\frac{1}{C} + \frac{1}{r_{\text{máx}}}.áá
    Então plote \dfrac{1}{r_i} versus \dfrac{1}{C_i} e ajuste uma reta por regressão linear. Da reta ajustada:
    • o coeficiente angular (slope) vale \dfrac{K_m}{r_{\text{máx}}}á,
    • o intercepto vale \dfrac{1}{r_{\text{máx}}}á.
      Assim:
    r_{\text{máx}} = \frac{1}{\text{intercepto}},\qquad K_m = (\text{slope})\times r_{\text{máx}}.áá
  3. Comentários e alternativas:
    • A linearização Lineweaver–Burk enfatiza erros em pequenas concentrações; outras linearizações (Hanes–Woolf, Eadie–Hofstee) têm vantagens numéricas diferentes. Ex.: Eadie–Hofstee usa r versus r/C: r = -K_m\cdot\frac{r}{C} + r_{\text{máx}},áo que também dá uma reta cujos coeficientes permitem obter K_m e r_{\text{máx}}á.
    • O método mais moderno e preciso é ajuste não-linear direto (regressão não-linear) da equação de Michaelis–Menten aos pares (C_i,r_i); esse método minimiza erros diretamente e evita vieses das linearizações.
    • Importante: obter r_i requer dados com boa resolução temporal e métodos adequados de diferenciação (suavização ou ajuste local) para não amplificar ruído experimental.

Passo 6

Agora o item (c): CSTR no estado estacionário. Para um CSTR em regime permanente o balanço do substrato é:
\text{entrada} - \text{saída} - \text{consumo} =0.í
Com vazão q e volume V, isso fica
q\,C_{S0} - q\,C - V\,r\text{(C)} = 0.
Dividindo por V definimos a taxa de diluição D=\dfrac{q}{V} (unidade \mathrm{min^{-1}}) e obtemos
D\,(C_{S0}-C) - r_{\text{máx}}\frac{C}{K_m+C} = 0.á
Calcule D. Convertendo (opcional) q=100\\ \mathrm{cm^3/min}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/min} e V=300\\ \mathrm{cm^3}=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}, temos
D=\frac{q}{V} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3}\\ \mathrm{min^{-1}}\approx 0{,}3333\\ \mathrm{min^{-1}}.
Substituindo D, C_{S0}=300, K_m=200, r_{\text{máx}}=100á na equação:
\frac{1}{3}(300 - C) - 100\frac{C}{200 + C} = 0.
Multiplicando ambos os lados por 3(200+C) para eliminar denominadores:
(300 - C)(200 + C) - 300 C = 0.
Expandindo:
60000 + 100C - C^2 - 300C = 0 \quad\Rightarrow\quad -C^2 -200C + 60000 = 0.
Multiplicando por -1:
C^2 + 200C - 60000 = 0.
Resolvendo a quadrática:
C = \frac{-200 \pm \sqrt{200^2 + 4\cdot 60000}}{2} = \frac{-200 \pm \sqrt{280000}}{2}.
A raiz positiva (física) é
C = \frac{-200 + \sqrt{280000}}{2} \approx 164{,}575\\ \mathrm{g/m^{3}}.
A outra raiz é negativa e não tem significado físico para concentração.

Resposta

(a) C_S(10\\ \mathrm{min}) \approx 8{,}646\\ \mathrm{g/m^{3}}\n
(b) Estime velocidades r_i de C(t) por diferenças finitas; plote \dfrac{1}{r_i} versus \dfrac{1}{C_i} (Lineweaver–Burk). Da regressão linear: intercepto =1/r_{\text{máx}}á e coeficiente angular =K_m/r_{\text{máx}}á. Assim r_{\text{máx}}=1/\text{intercepto}á e K_m=(\text{slope})\cdot r_{\text{máx}}á. Alternativa melhor: ajuste não-linear direto da equação de Michaelis–Menten. \n
(c) Concentração de substrato no estado estacionário do CSTR: C_S \approx 164{,}575\\ \mathrm{g/m^{3}}.

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