O crescimento de bactérias para formar um produto, P, ocorreu em um CSTBR de 25 dm 3 . A bactéria (e.g., Zimomonas) consome o substrato nutriente (e.g. para gerar mais células e o produto desejado - Etanol).
O CSTBR foi inicialmente inoculado com bactéria e agora atingiu o estado estacionário. Somente substrato é alimentado no biorreator, a uma vazão volumétrica de 5 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{h} e uma concentração de 30 \mathrm{~g} / \mathrm{dm}^{3}. O crescimento microbiano segue a cinética de Monod e a taxa de consumo de substrato está relacionado com a velocidade de crescimento por meio de
-r s=Y s x / r x
a) Calcule Cs e Cx.
b) Como suas respostas mudariam se a vazão volumétrica de alimentação fosse reduzida à metade?
Informações adicionais:
\mu máx =0,5 \mathrm{~h}^{-1}, \mathrm{KS}=5 \mathrm{~g} / \mathrm{dm}^{3}.
\mathrm{Yx} / \mathrm{s}=0,8

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a concentração de substrato em regime estacionário ( C_s) e a concentração de biomassa em regime estacionário ( C_x) para a alimentação dada.
  • (b) Repetir os cálculos quando a vazão volumétrica de alimentação for reduzida à metade e dizer como as respostas mudam.
Informações dadas (vou listar literalmente, tudo em TeX):
V = 25\\ \mathrm{dm^{3}},\qquad F = 5\\ \mathrm{dm^{3}\,h^{-1}},\qquad S_f = 30\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}
\mu_{\max}=0,5\\ \mathrm{h^{-1}},\qquad K_S=5\\ \mathrm{g\,dm^{-3}},\qquad Y_{x/s}=0,8
Também foi informada a relação entre consumo de substrato e crescimento; vou usar a forma usual sem termo de manutenção:
-r_s = \frac{1}{Y_{x/s}}\; r_x
onde r_x é a taxa volumétrica de formação de biomassa (por unidade de volume).

Passo 2

Definindo variáveis e escrevendo as leis/constituições que usaremos (explicando cada símbolo):
  • S é a concentração de substrato no reator em regime estacionário (o que chamamos de C_s).
  • X é a concentração de biomassa no reator em regime estacionário (o que chamamos de C_x).
  • D é a taxa de diluição definida por D=\dfrac{F}{V} (tem unidade \mathrm{h^{-1}}).
  • A cinética de crescimento segue Monod:
\mu(S)=\mu_{\max}\,\frac{S}{K_S+S}.
Aqui \mu(S) é a velocidade específica de crescimento ( \mathrm{h^{-1}}), \mu_{\max} é o máximo e K_S é a constante de meia-saturação.
  • A taxa volumétrica de crescimento de biomassa é r_x=\mu(S)\,X.
  • A taxa volumétrica de consumo de substrato (por convenção positiva) é -r_s=\dfrac{1}{Y_{x/s}}\,r_x=\dfrac{1}{Y_{x/s}}\,\mu(S)\,X.

Passo 3

Equações de balanço em regime estacionário (estado estacionário ⇒ acumulação zero).
Balanço de biomassa (por unidade de volume):
0 = \text{entrada - saída + geração} = -D X + \mu(S) X.íçã
Factorando X:
0 = X\big(\mu(S)-D\big).
Para existir biomassa no reator ( X\neq 0), devemos ter
\mu(S)=D.
Isso é uma condição clássica: em CSTR com cultura ativa em estado estacionário, a velocidade específica de crescimento se iguala à diluição.

Passo 4

Usando \mu(S)=D e a expressão de Monod, obtemos:
D=\mu_{\max}\,\frac{S}{K_S+S}.
Agora resolvemos essa equação para S. Isolando S:
D(K_S+S)=\mu_{\max}S
D K_S + D S = \mu_{\max} S
D K_S = (\mu_{\max}-D)S
S = \frac{D K_S}{\mu_{\max}-D}.
Essa é a fórmula que dá a concentração de substrato no reator em função de D, \mu_{\max} e K_S. Note que é necessário \mu_{\max}>D para que exista solução física (caso contrário a cultura seria lavada).

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente para a situação (a) com F=5\\ \mathrm{dm^{3}h^{-1}}.
Calcular D:
D=\frac{F}{V}=\frac{5\\ \mathrm{dm^{3}h^{-1}}}{25\\ \mathrm{dm^{3}}}=0,2\\ \mathrm{h^{-1}}.
Aplicando a fórmula para S:
S=\frac{D K_S}{\mu_{\max}-D}=\frac{0,2\cdot 5}{0,5-0,2}=\frac{1}{0,3}=3,333\ldots\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}.
Vou representar com três casas decimais:
S=3,333\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}.
Este é o C_s pedido no item (a).

Passo 6

Agora obtemos X. Fazemos o balanço de substrato em regime estacionário:
0 = D(S_f - S) - (-r_s).
Lembrando que -r_s=\dfrac{1}{Y_{x/s}}\mu(S)X. Substituindo:
0 = D(S_f - S) - \frac{1}{Y_{x/s}}\mu(S)X.
Mas em estado estacionário \mu(S)=D, logo:
0 = D(S_f - S) - \frac{1}{Y_{x/s}} D X.
Simplificando (dividindo por D\neq 0):
S_f - S = \frac{1}{Y_{x/s}} X.
Isolando X:
X = Y_{x/s}\,(S_f - S).
Essa simplificação é prática: quando \mu=D o X no reator depende só do rendimento e da diferença entre alimentação e reator.
Calcule numericamente com Y_{x/s}=0,8, S_f=30 e S=3,333:
X = 0,8\cdot(30-3,333)=0,8\cdot 26,667=21,333\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}.
Esse é o C_x para o item (a).

Passo 7

Resumo numérico do item (a) com pequenas observações:
C_s = 3,333\\ \mathrm{g\,dm^{-3}},\qquad C_x = 21,333\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}.
Observação interpretativa rápida: como D é relativamente menor que \mu_{\max}, o substrato residual no reator é baixo e a maior parte do substrato entra convertida em biomassa (refletido em C_x alto).

Passo 8

Agora tratamos o item (b): reduzir a vazão volumétrica de alimentação para a metade. Então F'=\dfrac{5}{2}=2,5\\ \mathrm{dm^{3}h^{-1}}.
Calcule o novo D':
D'=\frac{F'}{V}=\frac{2,5}{25}=0,1\\ \mathrm{h^{-1}}.
Usando a fórmula para S com D':
S'=\frac{D'K_S}{\mu_{\max}-D'}=\frac{0,1\cdot 5}{0,5-0,1}=\frac{0,5}{0,4}=1,25\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}.
Portanto o novo C_s é 1,25\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}.

Passo 9

Calcule o novo X' com a mesma fórmula simplificada X'=Y_{x/s}(S_f - S'):
X' = 0,8\cdot(30-1,25)=0,8\cdot 28,75=23,0\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}.

Passo 10

Conclusão e comentário sobre como as respostas mudaram:
  • Ao reduzir a vazão à metade, a diluição D diminui, então a velocidade específica exigida ( \mu=D) diminui, a curva de Monod implica menor S no reator (substrato residual cai de 3,333 para 1,25\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}).
  • Com menos substrato residual, a concentração de biomassa aumenta ligeiramente (de 21,333 para 23,0\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}), porque mais substrato é convertido em biomassa por unidade de volume em regime estacionário (e o rendimento Y é fixo).

Resposta

a) C_s = 3,333\\ \mathrm{g\,dm^{-3}},\quad C_x = 21,333\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}
b) C_s = 1,25\\ \mathrm{g\,dm^{-3}},\quad C_x = 23,0\\ \mathrm{g\,dm^{-3}}

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