O crescimento de bactérias para formar um produto, P, ocorreu em um CSTBR de 25 dm 3 . A bactéria (e.g., Zimomonas) consome o substrato nutriente (e.g. para gerar mais células e o produto desejado - Etanol).
O CSTBR foi inicialmente inoculado com bactéria e agora atingiu o estado estacionário. Somente substrato é alimentado no biorreator, a uma vazão volumétrica de
e uma concentração de
. O crescimento microbiano segue a cinética de Monod e a taxa de consumo de substrato está relacionado com a velocidade de crescimento por meio de
a) Calcule Cs e Cx.
b) Como suas respostas mudariam se a vazão volumétrica de alimentação fosse reduzida à metade?
Informações adicionais:
máx
.
b) Como suas respostas mudariam se a vazão volumétrica de alimentação fosse reduzida à metade?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a concentração de substrato em regime estacionário (
) e a concentração de biomassa em regime estacionário ( ) para a alimentação dada. - (b) Repetir os cálculos quando a vazão volumétrica de alimentação for reduzida à metade e dizer como as respostas mudam.
Informações dadas (vou listar literalmente, tudo em TeX):
Também foi informada a relação entre consumo de substrato e crescimento; vou usar a forma usual sem termo de manutenção:
onde
é a taxa volumétrica de formação de biomassa (por unidade de volume).
Passo 2
Definindo variáveis e escrevendo as leis/constituições que usaremos (explicando cada símbolo):
-
é a concentração de substrato no reator em regime estacionário (o que chamamos de ). -
é a concentração de biomassa no reator em regime estacionário (o que chamamos de ). -
é a taxa de diluição definida por (tem unidade ). - A cinética de crescimento segue Monod:
Aqui
é a velocidade específica de crescimento (
),
é o máximo e
é a constante de meia-saturação.
- A taxa volumétrica de crescimento de biomassa é
. - A taxa volumétrica de consumo de substrato (por convenção positiva) é
.
Passo 3
Equações de balanço em regime estacionário (estado estacionário ⇒ acumulação zero).
Balanço de biomassa (por unidade de volume):
Factorando
:
Para existir biomassa no reator (
), devemos ter
Isso é uma condição clássica: em CSTR com cultura ativa em estado estacionário, a velocidade específica de crescimento se iguala à diluição.
Passo 4
Usando
e a expressão de Monod, obtemos:
Agora resolvemos essa equação para
. Isolando
:
Essa é a fórmula que dá a concentração de substrato no reator em função de
,
e
. Note que é necessário
para que exista solução física (caso contrário a cultura seria lavada).
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente para a situação (a) com
.
Calcular
:
Aplicando a fórmula para
:
Vou representar com três casas decimais:
Este é o
pedido no item (a).
Passo 6
Agora obtemos
. Fazemos o balanço de substrato em regime estacionário:
Lembrando que
. Substituindo:
Mas em estado estacionário
, logo:
Simplificando (dividindo por
):
Isolando
:
Essa simplificação é prática: quando
o X no reator depende só do rendimento e da diferença entre alimentação e reator.
Calcule numericamente com
,
e
:
Esse é o
para o item (a).
Passo 7
Resumo numérico do item (a) com pequenas observações:
Observação interpretativa rápida: como
é relativamente menor que
, o substrato residual no reator é baixo e a maior parte do substrato entra convertida em biomassa (refletido em
alto).
Passo 8
Agora tratamos o item (b): reduzir a vazão volumétrica de alimentação para a metade. Então
.
Calcule o novo
:
Usando a fórmula para
com
:
Portanto o novo
é
.
Passo 9
Calcule o novo
com a mesma fórmula simplificada
:
Passo 10
Conclusão e comentário sobre como as respostas mudaram:
- Ao reduzir a vazão à metade, a diluição
diminui, então a velocidade específica exigida ( ) diminui, a curva de Monod implica menor no reator (substrato residual cai de para ). - Com menos substrato residual, a concentração de biomassa aumenta ligeiramente (de
para ), porque mais substrato é convertido em biomassa por unidade de volume em regime estacionário (e o rendimento é fixo).
Resposta
a)
b)
b)