8- A solubilidade de \mathrm{CO}_{2} em água pura a 25^{\circ} \mathrm{C} e 0,1 \mathrm{~atm} de pressão é 0,00037 \mathrm{~mol} \mathrm{L}^{-1}. A prática comum é supor que todo o \mathrm{CO}_{2} dissolvido está na forma de ácido carbônico \left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}\right), produzido pela reação entre \mathrm{CO}_{2} e \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} :
\mathrm{CO}_{2}(a q)+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(l) \Leftrightarrow \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}(a q)
Qual é o pH de uma solução de 0,0037 \mathrm{~mol} \mathrm{~L} \mathrm{~L}^{-1} de \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3} Considerando Ka= 4,3 \times 10^{-7}. pág. 585 .

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução aquosa que contém \mathrm{H_{2}CO_{3}} com concentração inicial \;0,0037\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. As informações fornecidas são:
\; - concentração inicial de \mathrm{H_{2}CO_{3}}: \;C=0,0037\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} (peguei isso do enunciado).
\; - constante de acidez (primeira dissociação) dada: \;K_a=4{,}3\times 10^{-7} (também do enunciado).
A pergunta explícita: qual é o valor do pH dessa solução?

Passo 2

Entendendo a reação que gera os íons que definem o pH. Para um ácido fraco genérico \mathrm{HA} temos a dissociação
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-}.
No nosso caso \mathrm{HA} é \mathrm{H_{2}CO_{3}} (assumimos só a primeira dissociação aqui). A constante de acidez \;K_a é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]},
onde [\mathrm{H^+}] é a concentração de íons hidrogênio em mol·L^{-1}, [\mathrm{A^-}] a concentração do ânion formado e [\mathrm{HA}] a concentração do ácido não dissociado no equilíbrio. O pH é dado por
\mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H^+}].

Passo 3

Montamos a tabela tipo ICE (Initial, Change, Equilibrium) para a primeira dissociação:
\mathrm{H_{2}CO_{3}} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{HCO_{3}^-}.
Inicial:
[\mathrm{H_{2}CO_{3}}]=C=0,0037,\quad [\mathrm{H^+}]=0,\quad [\mathrm{HCO_{3}^-}]=0.
Variação:
[\mathrm{H_{2}CO_{3}}]=C-x,\quad [\mathrm{H^+}]=x,\quad [\mathrm{HCO_{3}^-}]=x,
Equilíbrio:
[\mathrm{H_{2}CO_{3}}]=C-x,\quad [\mathrm{H^+}]=x,\quad [\mathrm{HCO_{3}^-}]=x.

Passo 4

Escrevemos a expressão de K_a em função de x:
K_a=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{HCO_{3}^-}]}{[\mathrm{H_{2}CO_{3}}]}=\frac{x\cdot x}{C-x}=\frac{x^2}{C-x}.
Isso gera a equação a ser resolvida para x (que é [\mathrm{H^+}]):
\frac{x^2}{C-x}=K_a.
Multiplicando ambos os lados por (C-x) e reorganizando obtemos a equação quadrática
x^2 + K_a x - K_a C = 0.

Passo 5

Antes de resolver a quadrática, aplicamos a aproximação usual para ácidos fracos: se K_a\ll C então x\ll C e podemos aproximar C-x\approx C. Com isso temos a estimativa simples
x\approx\sqrt{K_a C}.
Esta aproximação costuma tornar os cálculos de pH rápidos na prova. Vamos calcular numericamente:
K_a C = (4{,}3\times 10^{-7})\times(0{,}0037)=4{,}3\times 3{,}7\times 10^{-7-3}.
Calculando:
4{,}3\times 3{,}7 = 15{,}91,
portanto
K_a C = 15{,}91\times 10^{-10} = 1{,}591\times 10^{-9}.
Agora
x\approx\sqrt{1{,}591\times 10^{-9}}=3{,}989\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação (regra dos 5%): calculamos a fração dissociada estimada \dfrac{x}{C}:
\frac{x}{C}\approx\frac{3{,}989\times 10^{-5}}{0{,}0037}\approx 0{,}0108\approx 1{,}08\%.
Como 1{,}08\%<5\%, a aproximação C-x\approx C é válida e o valor de x obtido é confiável.

Passo 7

Se quisermos ser mais rigorosos, podemos resolver exatamente a quadrática
x^2 + K_a x - K_a C = 0
pela fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-K_a+\sqrt{K_a^2+4K_a C}}{2}.
Calculando o discriminante:
K_a^2=(4{,}3\times 10^{-7})^2=1{,}849\times 10^{-13},
4K_a C=4\times 4{,}3\times 10^{-7}\times 0{,}0037=6{,}364\times 10^{-9}.
Como K_a^2 é muito menor que 4K_aC, temos
\sqrt{K_a^2+4K_a C}\approx\sqrt{6{,}364\times 10^{-9}}=7{,}979\times 10^{-5}.
Logo
x\approx\frac{-4{,}3\times 10^{-7}+7{,}979\times 10^{-5}}{2}=\frac{7{,}936\times 10^{-5}}{2}=3{,}968\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Esse valor é praticamente igual ao obtido pela aproximação (diferença irrelevante para o pH).

Passo 8

Calculamos o pH a partir de [\mathrm{H^+}]=x. Usando o valor mais rigoroso x=3{,}968\times 10^{-5}:
\mathrm{pH}=-\log_{10}(3{,}968\times 10^{-5}).
Calculando o log (pode usar pro cálculo manual a decomposição \log(ab)=\log a+\log b):
\mathrm{pH}\approx -\big(\log_{10}(3{,}968)+\log_{10}(10^{-5})\big) = -(0{,}599 + (-5)) = 4{,}401.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais (coerente com os dados), obtemos \mathrm{pH}\approx 4{,}40.

Resposta

\mathrm{pH}=4{,}40

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