Calculo 1 - Turma A
semestre de 2024 - 3 Avaliação - 19/02/2025
Calcule as integrais
© integral 1t^2 raizt^6-16 d t

Passo 1

Temos a integral I=integral 1t^2raizt^6-16,dt. O conteúdo é integral de função irracional e vamos usar substituições para reduzir a uma forma de Beta incompleta.

Passo 2

Fazendo a substituição u=4/t^3, temos
du=-12t^-4,dtRightarrow dt=-t^412,du
Além disso
t^6=16u^2, t^2=l(16u^2r)^1/3=2^4/3u^2/3, raizt^6-16=4raiz1-u^2u
Substituindo na integral original obtemos
I=-2^4/348integralu^1/3raiz1-u^2,du

Passo 3

Para calcular
integralu^1/3raiz1-u^2,du,
fazemos x=u^2 (logo du=tfracdx2u). Então
u^1/3,du=x^-1/32,dx,
e a integral vira
12integral x^-1/3(1-x)^-1/2,dx=12Bxl(tfrac23,tfrac12r),
onde Bx(a,b) é a função Beta incompleta.

Passo 4

Voltando com x=16/t^6 e coletando as constantes, concluímos que a primitiva fica
I=-16cdot 2^8/3,Bl(16t^6;tfrac23,tfrac12r)+C

Resposta

-16cdot 2^8/3,Bl(tfrac16t^6;tfrac23,tfrac12r)+C

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