Mostre que uma equação do segundo grau que tem x1 e x2 como razões é a equação x^2 S x+P=0, onde S=x1+x2 e P=x1 cdot x2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de segundo grau cuja raízes são x1 e x2 pode ser escrita na forma x^2 - Sx + P = 0, onde definimos S = x1 + x2 e P = x1 cdot x2. Vamos usar a propriedade de fatoração de polinômios e a relação entre coeficientes e raízes.

Passo 2

Pela teoria de polinômios, um polinômio monico de grau 2 que tem raízes x1 e x2 se escreve como o produto dos fatores lineares:
(x - x1)(x - x2) = 0

Passo 3

Agora expandimos o produto para obter os coeficientes em termos de x1 e x2:
(x - x1)(x - x2) = x^2 - (x1 + x2)x + x1,x2

Passo 4

Por fim, reconhecemos que S = x1 + x2 e P = x1 cdot x2. Substituindo, a equação fica:
x^2 - Sx + P = 0

Resposta

x^2 - Sx + P = 0

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