Calculo 1 - Turma A
semestre de 2024 - 3 Avaliação - 19/02/2025
Um sólido é descrito pela revolução da área abaixo do gráfico da função
f(x)=raiz1+x^2
e acima do eixo x, para x entre 0 e 1 , ao redor do eixo y. Calcule o volume deste sólido.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o volume do sólido gerado ao girar em torno do eixo y a região situada sob a curva f(x)=raiz1+x^2 entre x=0 e x=1, acima do eixo x. Esse problema cai na técnica de volume por cascas cilíndricas, pois o eixo de rotação é vertical e a função está em termos de x.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, cada casca a uma abscissa x tem raio x e altura dada por f(x)=raiz1+x^2. A fórmula geral fica
V = 2pi integral0^1 (raio)cdot(a

Passo 3

Para calcular integral0^1 xraiz1+x^2,dx, fazemos a substituição
u = 1 + x^2,
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du = 2x,dx Rightarrow x,dx = du2
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Assim,
integral0^1 xraiz1+x^2,dx = integral1^2 raizu,du2 = 12 integral1^2 u^1/2,du

Passo 4

Agora integramos u^1/2:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23,u^3/2
Substituindo nos limites de 1 a 2 e lembrando que V = 2pitimes essa integral, mas já temos o fator tfrac12, obtemos
V = pi integral1^2 u^1/2,du = picdot23l(2^3/2-1r) = 2pi3l(2raiz2-1r)

Resposta

V=2pi3l(2raiz2-1r).

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