Para o cálculo da variação de entalpia, adote:
h_{2}-h_{1}=c_{p}\left(T_{2}-T_{1}\right)
Para o cálculo da variação de energia interna, adote:
\tilde{u}_{2}-\tilde{u}_{1}=c_{v}\left(T_{2}-T_{1}\right)
Calcule o calor específico na temperatura média entre a entrada \left(T_{1}\right) e a saída \left(T_{2}\right).
Nitrogênio escoa em regime permanente em um compressor adiabático. Na entrada, a vazão volumétrica vale 12000 \mathrm{L} / \mathrm{min} e o nitrogênio está a 25^{\circ} \mathrm{C} e a 96 kPa e na saída, o nitrogênio está a
205^{\circ} \mathrm{C} e a 500 kPa . Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser desprezados e o nitrogênio é um gás ideal.
Determine:
a) a vazão mássica, em kg/s;
b) a vazão volumétrica na saída, em L/min;
c) a potência do compressor, em kW.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento permanente de nitrogênio por um compressor adiabático. Os dados relevantes são:
\begin{aligned} \dot{V}_1 &= 12000\\ \mathrm{L/min},\\\ T_1 &= 25^\circ\mathrm{C},\\\ p_1 &= 96\\ \mathrm{kPa},\\\ T_2 &= 205^\circ\mathrm{C},\\\ p_2 &= 500\\ \mathrm{kPa}. \end{aligned}
Pede-se:
a) a vazão mássica \dot{m} em \mathrm{kg/s};
b) a vazão volumétrica na saída \dot{V}_2 em \mathrm{L/min};
c) a potência do compressor \dot{W} em \mathrm{kW}.
Informações adicionais/hipóteses implícitas (do enunciado):
  • o nitrogênio é gás ideal;
  • efeitos de energia cinética e potencial desprezíveis;
  • compressor adiabático e regime permanente (portanto, para o balanço de energia estacionário, a potência de entrada é dada por \dot{W}=\dot{m}(h_2-h_1));
  • devemos calcular o calor específico na temperatura média entre entrada e saída.

Passo 2

Converto temperaturas para Kelvin e calculo a temperatura média (aritmética) pedida:
\begin{aligned} T_1 &= 25^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K},\\\ T_2 &= 205^\circ\mathrm{C}=478,15\\ \mathrm{K},\\\ T_m &= \frac{T_1+T_2}{2}=\frac{298,15+478,15}{2}=388,15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}

Passo 3

Calculo o calor específico na temperatura média. Explicação didática curta: para um gás diatômico como o nitrogênio, nas temperaturas da ordem de algumas centenas de kelvins as contribuições vibracionais são pequenas e o calor molar à pressão constante pode ser aproximado por
\tilde{c}_p \approx \frac{7}{2}R_\mathrm{u},
onde R_\mathrm{u}=8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} é a constante universal dos gases. Para obter c_p por unidade de massa usamos a massa molar do nitrogênio M=28{,}0134\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0280134\\ \mathrm{kg/mol}:
c_p = \frac{\tilde{c}_p}{M} = \frac{\tfrac{7}{2}R_\mathrm{u}}{M}.
Faço as contas:
\tilde{c}_p=\frac{7}{2}\,R_\mathrm{u}=3{,}5\times 8{,}3144621=29{,}1006\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
c_p=\frac{29{,}1006}{0{,}0280134}=1039{,}1\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(comentário: este valor é o valor clássico aproximado para c_p do N _2 em torno de algumas centenas de K; é o valor pedido — calor específico avaliado na temperatura média).
Como checagem, calculo a constante específica dos gases
R=\frac{R_\mathrm{u}}{M}=\frac{8{,}3144621}{0{,}0280134}=296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
e \,c_v=c_p-R=1039{,}1-296{,}8=742{,}3\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, coerente com um gás diatômico ( c_p/c_v\approx 1{,}4).

Passo 4

Calculo a vazão mássica \dot{m}. Primeiro converto a vazão volumétrica de entrada para \mathrm{m^3/s}:
\dot{V}_1=12000\\ \mathrm{L/min}=12000\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/min}=12\\ \mathrm{m^3/min}=\frac{12}{60}=0{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.
Para obter \dot{m} preciso da densidade na entrada dada pela equação dos gases ideais:
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1}.
Coloco p_1=96\\ \mathrm{kPa}=96000\\ \mathrm{Pa}, R=296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T_1=298{,}15\\ \mathrm{K}:
\rho_1=\frac{96000}{296{,}8\times 298{,}15}=1{,}08485\\ \mathrm{kg/m^3}.
Logo
\dot{m}=\rho_1\dot{V}_1=1{,}08485\times 0{,}2=0{,}21697\\ \mathrm{kg/s}\approx 0{,}217\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Calculo a vazão volumétrica na saída \dot{V}_2. Uso a densidade na saída dada por
\rho_2=\frac{p_2}{R\,T_2},
com p_2=500\\ \mathrm{kPa}=500000\\ \mathrm{Pa} e T_2=478{,}15\\ \mathrm{K}:
\rho_2=\frac{500000}{296{,}8\times 478{,}15}=3{,}5239\\ \mathrm{kg/m^3}.
A vazão volumétrica de saída em \mathrm{m^3/s} é
\dot{V}_2=\frac{\dot{m}}{\rho_2}=\frac{0{,}21697}{3{,}5239}=0{,}06156\\ \mathrm{m^3/s}.
Converto para \mathrm{L/min} (fator 1\\ \mathrm{m^3/s}=60000\\ \mathrm{L/min}):
\dot{V}_2=0{,}06156\times 60000=3693{,}6\\ \mathrm{L/min}\approx 3694\\ \mathrm{L/min}.

Passo 6

Calculo a potência do compressor. Para escoamento em regime permanente, adiabático e desprezando variações de energia cinética e potencial, o trabalho por unidade de tempo fornecido ao fluido é
\dot{W}=\dot{m}\,(h_2-h_1).
Usando a aproximação linear do enunciado h_2-h_1=c_p(T_2-T_1), com c_p=1039{,}1\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \Delta T=T_2-T_1=180\\ \mathrm{K}:
h_2-h_1=1039{,}1\times 180=187038\\ \mathrm{J/kg}.
Portanto
\dot{W}=\dot{m}\,(h_2-h_1)=0{,}21697\times 187038=40581\\ \mathrm{W}=40{,}581\\ \mathrm{kW}\approx 40{,}58\\ \mathrm{kW}.

Resposta

\dot{m}=0{,}217\\ \mathrm{kg/s}
\dot{V}_2=3694\\ \mathrm{L/min}
\dot{W}=40{,}58\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados