Dióxido de carbono escoa em regime permanente em um compressor adiabático. Na entrada, o dióxido de carbono está a 20^{\circ} \mathrm{C} e a 110 kPa e na saída, o dióxido de carbono está a 164^{\circ} \mathrm{C} e a 660 kPa . Determine a potência por unidade de vazão mássica, em kJ/kg. Os efeitos de energia cinética e potencial podem ser desprezados e o dióxido de carbono é um gás ideal.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e condições (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
T_1=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}
P_1=110\\ \mathrm{kPa}
T_2=164^\circ\mathrm{C}=437{,}15\\ \mathrm{K}
P_2=660\\ \mathrm{kPa}
Condições do processo:
  • escoamento em regime permanente (estado estacionário);
  • compressor adiabático (sem transferência de calor);
  • efeitos de energia cinética e potencial desprezíveis;
  • dióxido de carbono tratado como gás ideal.
O que o problema pede:
  • determinar a potência por unidade de vazão mássica (isto é, o trabalho específico) em \mathrm{kJ/kg}.

Passo 2

Vamos usar a forma energética para escoamento permanente (primeira lei para volume de controle em regime estacionário). A equação geral é
\dot Q - \dot W = \dot m\left(h_2-h_1 + \Delta e_{cin} + \Delta e_{pot}\right).
Aqui:
  • \dot Q é a taxa de calor trocada;
  • \dot W é a potência de trabalho (positivo quando feita pelo sistema);
  • \dot m é a vazão mássica;
  • h é a entalpia específica;
  • \Delta e_{cin} e \Delta e_{pot} são as variações de energia cinética e potencial por unidade de massa.
Pelo enunciado, \dot Q=0 (adiabático) e \Delta e_{cin}=\Delta e_{pot}=0 (desprezíveis). Portanto a equação reduz para
-\dot W = \dot m (h_2-h_1).
Queremos a potência por unidade de massa (trabalho específico). Definindo w como o trabalho por unidade de massa necessário ao compressor (positivo quando trabalho é fornecido ao fluido), temos
w = h_2-h_1.
Observação sobre sinais: aqui w>0 significa trabalho de entrada no compressor por kg de fluido.

Passo 3

Agora relacionamos entalpia e temperatura para um gás ideal. Para um gás ideal vale
dh = c_p(T)\,dT,
onde c_p(T) é a capacidade calorífica a pressão constante, que em geral depende de T. Integrando entre os estados 1 e 2:
h_2-h_1 = \int_{T_1}^{T_2} c_p(T)\,dT.
Se assumirmos que c_p é aproximadamente constante no intervalo de temperaturas considerado, a expressão simplifica para
h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1).
Explico rapidamente: h (entalpia específica) é uma propriedade que mede a energia interna mais o termo p v; para um gás ideal a dependência de h com a pressão desaparece e h depende essencialmente da temperatura. O c_p é a taxa de variação da entalpia com a temperatura a pressão constante, medido em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Precisamos escolher um valor para c_p do \mathrm{CO_2} no intervalo 293{,}15\\ \mathrm{K} a 437{,}15\\ \mathrm{K}. Como o enunciado não fornece tabelas, vou adotar uma aproximação padrão usada em exercícios: c_p quase constante e igual a um valor médio. Um valor razoável para \mathrm{CO_2} nessa faixa é
c_p \approx 0{,}846\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
(Justificativa curta: c_p do \mathrm{CO_2} à temperatura ambiente é perto de 0{,}844 0{,}85\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; escolhi 0{,}846 como média representativa no intervalo aqui usado.)
Calculemos a diferença de temperatura:
\Delta T = T_2-T_1 = 437{,}15 - 293{,}15 = 144{,}0\\ \mathrm{K}.
Agora a variação de entalpia (trabalho específico):
h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1) = 0{,}846 \times 144{,}0.
Faço a multiplicação passo a passo:
0{,}846 \times 100 = 84{,}6
0{,}846 \times 40 = 33{,}84
0{,}846 \times 4 = 3{,}384
Somando:
84{,}6 + 33{,}84 + 3{,}384 = 121{,}824\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento: o valor positivo indica que é necessário fornecer aproximadamente 121{,}8\\ \mathrm{kJ} de trabalho por cada 1\\ \mathrm{kg} de \mathrm{CO_2} para comprimir adiabaticamente de 110\\ \mathrm{kPa}, 20^\circ\mathrm{C} até 660\\ \mathrm{kPa}, 164^\circ\mathrm{C}, sob a hipótese de gás ideal e c_p aproximadamente constante.
Observação final: se você tivesse tabelas de propriedades com c_p(T) tabulado ou funções polinomiais, faria a integral \int_{T_1}^{T_2} c_p(T)\,dT para obter um resultado um pouco mais preciso; aqui a aproximação é muito utilizada em provas quando não há tabelas.

Resposta

121{,}82\\ \mathrm{kJ/kg}

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