Calculo Vetorlal:

CURVAS de espaço: comprimento do arco
  • Exemplo: Encontre o comprimento do arco da hélice circular com a equação vetorial \vec{r}(t)=\cos t \hat{i}+\operatorname{sen} t \hat{j}+t \hat{k} do ponto ( 1,0,0 ) até o ponto ( 1,0,2 \pi ).
  • Neste caso a curva é parametrizada em termos do variável t. Assim temos
\begin{aligned} s & =\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\frac{d \vec{r}}{d t} \cdot \frac{d \vec{r}}{d t}} d t \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(-\operatorname{sen} t \hat{i}+\cos t \hat{j}+\hat{k}) \cdot(-\operatorname{sen} t \hat{i}+\cos t \hat{j}+\hat{k})} d t \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2} d t=2 \sqrt{2} \pi \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede o comprimento do arco da curva dada por \vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}+t\,\hat{k} do ponto (1,0,0) até o ponto (1,0,2\pi).
  • Informações fornecidas:
    • A curva está parametrizada pelo parâmetro t.
    • A expressão vetorial \vec{r}(t) fornece as coordenadas x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, z(t)=t.
  • Pergunta clara: calcular o comprimento de arco s entre os dois pontos indicados (ou seja, entre os valores de t que geram esses pontos).

Passo 2

Achar os valores de parâmetro t correspondentes aos pontos dados:
  • Procurar t_1 tal que \vec{r}(t_1)=(1,0,0).
    • Isso exige \cos t_1 = 1, \sin t_1 = 0 e t_1 = 0 (a terceira coordenada é z(t)=t, então t_1 deve ser 0). Logo t_1=0.
  • Procurar t_2 tal que \vec{r}(t_2)=(1,0,2\pi).
    • Novamente \cos t_2=1 e \sin t_2=0 ocorrem para t_2=2\pi (e z(t_2)=t_2=2\pi corresponde). Logo t_2=2\pi.
  • Conclusão: os limites de integração são t_1=0 e t_2=2\pi.

Passo 3

Recordando a fórmula do comprimento de arco para curva parametrizada:
  • Se \vec{r}(t) é diferenciável e parametriza a curva para t\in[t_1,t_2], então o comprimento de arco é
s=\int_{t_1}^{t_2}\left\|\frac{d\vec{r}}{dt}\right\|\,dt,
onde \left\|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\right\| é a norma da derivada vetorial (velocidade).
  • Explicando a norma: se \dfrac{d\vec{r}}{dt}=(x'(t),y'(t),z'(t)), então
\left\|\frac{d\vec{r}}{dt}\right\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Isto vem da definição usual da norma euclidiana em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Calcular a derivada \dfrac{d\vec{r}}{dt}:
  • Diferenciando componente a componente:
    • x(t)=\cos t \implies x'(t)=-\sin t.
    • y(t)=\sin t \implies y'(t)=\cos t.
    • z(t)=t \implies z'(t)=1.
  • Logo
\frac{d\vec{r}}{dt}=-\sin t\,\hat{i}+\cos t\,\hat{j}+1\,\hat{k}.

Passo 5

Calcular a norma \left\|\dfrac{d\vec{r}}{dt}\right\| explicitamente:
  • Primeiro o quadrado da norma (produto escalar da derivada por si mesma):
\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}.
  • Usar a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Portanto
(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}= \sin^{2}t+\cos^{2}t = 1.
  • Substituindo:
\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}=1+1=2.
  • Assim a norma é constante:
\left\|\frac{d\vec{r}}{dt}\right\|=\sqrt{2}.
Comentário intuitivo: a hélice tem velocidade constante ao longo do parâmetro t; geometricamente, a componente circular dá contribuição 1 e a subida vertical unitária dá mais 1, totalizando \sqrt{2}.

Passo 6

Calcular o comprimento de arco integrando a norma entre t_1 e t_2:
  • Usando a fórmula do Passo 3 com t_1=0 e t_2=2\pi:
s=\int_{0}^{2\pi}\left\|\frac{d\vec{r}}{dt}\right\|\,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}\,dt.
  • Integrando uma constante:
s=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}dt=\sqrt{2}\,[t]_{0}^{2\pi}=\sqrt{2}\,(2\pi-0)=2\pi\sqrt{2}.

Passo 7

Interpretação e dica geral:
  • Resultado obtido: s=2\pi\sqrt{2}.
  • Intuição: cada volta completa da hélice (quando t aumenta de 0 a 2\pi) tem comprimento igual ao comprimento de uma circunferência de raio 1 combinado com a subida vertical de altura 2\pi. Para uma hélice geral \vec{r}(t)=a\cos t\,\hat{i}+a\sin t\,\hat{j}+b t\,\hat{k} a velocidade tem norma \sqrt{a^{2}+b^{2}} e o comprimento entre t=t_1 e t=t_2 é \sqrt{a^{2}+b^{2}}\,(t_2-t_1). Essa fórmula rápida é útil na prova para economizar tempo.

Resposta

2\pi\sqrt{2}

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