Exemplo: Encontre o comprimento do arco da hélice circular com a equação vetorial \vec{r}(t)=\cos t \hat{i}+\operatorname{sen} t \hat{j}+t \hat{k} do ponto ( 1,0,0 ) até o ponto ( 1,0,2 \pi ).
Neste caso a curva é parametrizada em termos do variável t. Assim temos
\begin{aligned} s & =\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{\frac{d \vec{r}}{d t} \cdot \frac{d \vec{r}}{d t}} d t \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(-\operatorname{sen} t \hat{i}+\cos t \hat{j}+\hat{k}) \cdot(-\operatorname{sen} t \hat{i}+\cos t \hat{j}+\hat{k})} d t \\\ & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2} d t=2 \sqrt{2} \pi \end{aligned}
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
Pede o comprimento do arco da curva dada por \vec{r}(t)=\cos t\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}+t\,\hat{k} do ponto (1,0,0) até o ponto (1,0,2\pi).
Informações fornecidas:
A curva está parametrizada pelo parâmetro t.
A expressão vetorial \vec{r}(t) fornece as coordenadas x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, z(t)=t.
Pergunta clara: calcular o comprimento de arco s entre os dois pontos indicados (ou seja, entre os valores de t que geram esses pontos).
Passo 2
Achar os valores de parâmetro t correspondentes aos pontos dados:
Procurar t_1 tal que \vec{r}(t_1)=(1,0,0).
Isso exige \cos t_1 = 1, \sin t_1 = 0 e t_1 = 0 (a terceira coordenada é z(t)=t, então t_1 deve ser 0). Logo t_1=0.
Procurar t_2 tal que \vec{r}(t_2)=(1,0,2\pi).
Novamente \cos t_2=1 e \sin t_2=0 ocorrem para t_2=2\pi (e z(t_2)=t_2=2\pi corresponde). Logo t_2=2\pi.
Conclusão: os limites de integração são t_1=0 e t_2=2\pi.
Passo 3
Recordando a fórmula do comprimento de arco para curva parametrizada:
Se \vec{r}(t) é diferenciável e parametriza a curva para t\in[t_1,t_2], então o comprimento de arco é
Comentário intuitivo: a hélice tem velocidade constante ao longo do parâmetro t; geometricamente, a componente circular dá contribuição 1 e a subida vertical unitária dá mais 1, totalizando \sqrt{2}.
Passo 6
Calcular o comprimento de arco integrando a norma entre t_1 e t_2:
Intuição: cada volta completa da hélice (quando t aumenta de 0 a 2\pi) tem comprimento igual ao comprimento de uma circunferência de raio 1 combinado com a subida vertical de altura 2\pi. Para uma hélice geral \vec{r}(t)=a\cos t\,\hat{i}+a\sin t\,\hat{j}+b t\,\hat{k} a velocidade tem norma \sqrt{a^{2}+b^{2}} e o comprimento entre t=t_1 e t=t_2 é \sqrt{a^{2}+b^{2}}\,(t_2-t_1). Essa fórmula rápida é útil na prova para economizar tempo.