Determine os intervalos em que o polinômio indicado possui apenas valores positivos:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede: determinar os intervalos do eixo real em que
possui apenas valores positivos (ou seja, onde
).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O polinômio é quadrático de coeficiente líder
(positivo). - Queremos os valores de
tais que .
Passo 2
Vamos encontrar as raízes (zeros) do polinômio — pontos onde
. Uma forma direta é calcular o discriminante e usar a fórmula quadrática. O discriminante é
onde, para
, temos
,
e
. Então
Como
, existem duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes são
Passo 3
Com as raízes encontradas, fatoramos o polinômio. Para um polinômio quadrático com coeficiente líder
e raízes
e
vale
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Agora analisamos o sinal do produto
. A ideia é usar um “quadro de sinais”: a reta real fica dividida pelas raízes em três intervalos:
Em cada intervalo, cada fator tem sinal constante. Avaliamos os sinais dos fatores e do produto:
-
Para
: temos e . Dois negativos multiplicados dão positivo, logo nesse intervalo. Por exemplo, em : . -
Para
: temos e . Um positivo vezes um negativo dá negativo, logo nesse intervalo. Por exemplo, em : . -
Para
: temos e . Dois positivos multiplicados dão positivo, logo nesse intervalo. Por exemplo, em : .
As raízes
e
fazem
, portanto não são incluídas quando se pede
.
Passo 5
Concluímos que
exatamente nos intervalos externos às raízes, ou seja: