Determine os intervalos em que o polinômio indicado possui apenas valores positivos:
p_{1}(x)=x^{2}-7 x+12

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p_{1}(x)=x^{2}-7x+12 e pede: determinar os intervalos do eixo real em que p_{1}(x) possui apenas valores positivos (ou seja, onde p_{1}(x)>0).
Informações relevantes dadas:
  • O polinômio é quadrático de coeficiente líder 1 (positivo).
  • Queremos os valores de x tais que p_{1}(x)>0.

Passo 2

Vamos encontrar as raízes (zeros) do polinômio — pontos onde p_{1}(x)=0. Uma forma direta é calcular o discriminante e usar a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac,
onde, para p_{1}(x)=ax^{2}+bx+c, temos a=1, b=-7 e c=12. Então
\Delta = (-7)^{2}-4\cdot1\cdot12 = 49-48 = 1.
Como \Delta>0, existem duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7\pm1}{2}.
Portanto as raízes são
x_{1}=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{7+1}{2}=4.

Passo 3

Com as raízes encontradas, fatoramos o polinômio. Para um polinômio quadrático com coeficiente líder 1 e raízes x_{1} e x_{2} vale
p_{1}(x)=(x-x_{1})(x-x_{2}).
Substituindo x_{1}=3 e x_{2}=4 obtemos
p_{1}(x)=(x-3)(x-4).

Passo 4

Agora analisamos o sinal do produto (x-3)(x-4). A ideia é usar um “quadro de sinais”: a reta real fica dividida pelas raízes em três intervalos:
(-\infty,3),\qquad (3,4),\qquad (4,\infty).
Em cada intervalo, cada fator tem sinal constante. Avaliamos os sinais dos fatores e do produto:
  • Para x\in(-\infty,3): temos x-3<0 e x-4<0. Dois negativos multiplicados dão positivo, logo p_{1}(x)>0 nesse intervalo. Por exemplo, em x=0: (0-3)(0-4)=(-3)(-4)=12>0.
  • Para x\in(3,4): temos x-3>0 e x-4<0. Um positivo vezes um negativo dá negativo, logo p_{1}(x)<0 nesse intervalo. Por exemplo, em x=\tfrac{7}{2}=3{,}5: (3{,}5-3)(3{,}5-4)=(0{,}5)(-0{,}5)=-0{,}25<0.
  • Para x\in(4,\infty): temos x-3>0 e x-4>0. Dois positivos multiplicados dão positivo, logo p_{1}(x)>0 nesse intervalo. Por exemplo, em x=5: (5-3)(5-4)=2\cdot1=2>0.
As raízes x=3 e x=4 fazem p_{1}(x)=0, portanto não são incluídas quando se pede p_{1}(x)>0.

Passo 5

Concluímos que p_{1}(x)>0 exatamente nos intervalos externos às raízes, ou seja:
(-\infty,3)\cup(4,\infty).

Resposta

(-\infty,3)\cup(4,\infty)

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