Determine os intervalos em que o polinômio indicado possui apenas valores positivos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os intervalos de
em que o polinômio
assume apenas valores positivos, isto é, determinar o conjunto de
tais que
.
Informações dadas:
- A expressão do polinômio é
. - Precisa-se dos intervalos abertos onde
(não incluímos pontos onde ).
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o polinômio completamente para identificar suas raízes (zeros) e poder fazer análise de sinais.
Fatorizar o termo quadrático
. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, portanto
Substituindo na expressão original:
Passo 3
Identificar as raízes e suas multiplicidades. As raízes são os valores de
que anulam o polinômio:
Cada fator aparece apenas uma vez, logo cada raiz tem multiplicidade
(ímpar). Importante: quando uma raiz tem multiplicidade ímpar, o sinal do polinômio muda ao atravessar essa raiz; quando a multiplicidade é par, o sinal não muda. Aqui todas são multiplicidade ímpar, então o sinal alterna em cada raiz.
Passo 4
Criar os intervalos determinados pelas raízes e testar o sinal em cada intervalo. As raízes ordenadas são
, então os intervalos a analisar são:
Escolhe-se um ponto teste em cada intervalo e verifica-se o sinal de cada fator
,
,
.
-
Intervalo
. Tomar : Produto:. Logo em . -
Intervalo
. Tomar : Produto:. Logo em . -
Intervalo
. Tomar : Produto:. Logo em . -
Intervalo
. Tomar : Produto:. Logo em .
Passo 5
Conclusão baseada nos testes de sinal:
é positiva exatamente nos intervalos onde obtivemos produto positivo, e os zeros
não são incluídos porque nessas posições
, não positivo.
Os intervalos onde
são, portanto,
e
.