Determine os intervalos em que o polinômio indicado possui apenas valores positivos:
p_{2}(x)=(x-1)\left(x^{2}-8 x+15\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos de x em que o polinômio
p_{2}(x)=(x-1)\left(x^{2}-8 x+15\right)
assume apenas valores positivos, isto é, determinar o conjunto de x tais que p_{2}(x)>0.
Informações dadas:
  • A expressão do polinômio é p_{2}(x)=(x-1)\left(x^{2}-8 x+15\right).
  • Precisa-se dos intervalos abertos onde p_{2}(x)>0 (não incluímos pontos onde p_{2}(x)=0).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o polinômio completamente para identificar suas raízes (zeros) e poder fazer análise de sinais.
Fatorizar o termo quadrático x^{2}-8x+15. Procuramos dois números cujo produto seja 15 e cuja soma seja -8. Esses números são -3 e -5, portanto
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5).
Substituindo na expressão original:
p_{2}(x)=(x-1)(x-3)(x-5).

Passo 3

Identificar as raízes e suas multiplicidades. As raízes são os valores de x que anulam o polinômio:
x=1,\qquad x=3,\qquad x=5.
Cada fator aparece apenas uma vez, logo cada raiz tem multiplicidade 1 (ímpar). Importante: quando uma raiz tem multiplicidade ímpar, o sinal do polinômio muda ao atravessar essa raiz; quando a multiplicidade é par, o sinal não muda. Aqui todas são multiplicidade ímpar, então o sinal alterna em cada raiz.

Passo 4

Criar os intervalos determinados pelas raízes e testar o sinal em cada intervalo. As raízes ordenadas são 1<3<5, então os intervalos a analisar são:
(-\infty,1),\quad (1,3),\quad (3,5),\quad (5,\infty).
Escolhe-se um ponto teste em cada intervalo e verifica-se o sinal de cada fator (x-1), (x-3), (x-5).
  • Intervalo (5,\infty). Tomar x=6:
    (6-1)=5>0,\quad (6-3)=3>0,\quad (6-5)=1>0.
    Produto: +\cdot +\cdot + = +. Logo p_{2}(x)>0 em (5,\infty).
  • Intervalo (3,5). Tomar x=4:
    (4-1)=3>0,\quad (4-3)=1>0,\quad (4-5)=-1<0.
    Produto: +\cdot +\cdot - = -. Logo p_{2}(x)<0 em (3,5).
  • Intervalo (1,3). Tomar x=2:
    (2-1)=1>0,\quad (2-3)=-1<0,\quad (2-5)=-3<0.
    Produto: +\cdot -\cdot - = +. Logo p_{2}(x)>0 em (1,3).
  • Intervalo (-\infty,1). Tomar x=0:
    (0-1)=-1<0,\quad (0-3)=-3<0,\quad (0-5)=-5<0.
    Produto: -\cdot -\cdot - = -. Logo p_{2}(x)<0 em (-\infty,1).

Passo 5

Conclusão baseada nos testes de sinal: p_{2}(x) é positiva exatamente nos intervalos onde obtivemos produto positivo, e os zeros x=1,3,5 não são incluídos porque nessas posições p_{2}(x)=0, não positivo.
Os intervalos onde p_{2}(x)>0 são, portanto, (1,3) e (5,\infty).

Resposta

(1,3)
(5,\infty)

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