Determine os intervalos em que a funçāo indicada possui apenas valores positivos:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos de
em que a função
assume apenas valores positivos, isto é, encontrar todos os
tais que
.
Informações relevantes dadas pela expressão:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A função está definida por uma razão de dois polinômios; pontos onde o denominador é zero são excluídos do domínio.
Passo 2
Primeiro passo prático: identificar o domínio e os pontos críticos que mudam o sinal da razão. O denominador não pode ser zero, logo
Os pontos onde numerador ou denominador se anulam são importantes porque aí a função é zero ou indefinida, e eles dividem a reta em intervalos onde o sinal pode ser constante. Vamos encontrar esses pontos:
- Resolver
dá . Nesse ponto o numerador é zero e, se definido, a função seria . - Resolver
dá . Nesse ponto o denominador é zero e a função é indefinida (verticalmente assintótica).
Passo 3
Com os pontos
e
temos que dividir a reta real em três intervalos para estudar o sinal da razão:
A razão de polinômios só muda de sinal possivelmente nos pontos onde numerador ou denominador se anulam, por isso é suficiente testar um valor em cada intervalo.
Passo 4
Escolher um ponto teste em cada intervalo e calcular o sinal de numerador e denominador separadamente:
-
Para o intervalo
tomo . Razão:porque negativo dividido por negativo é positivo. Logo em . -
Para o intervalo
tomo . Razão:porque positivo dividido por negativo é negativo. Logo em . -
Para o intervalo
tomo . Razão:porque positivo dividido por positivo é positivo. Logo em .
Passo 5
Verificação dos pontos críticos:
- Em
temos . Como queremos estritamente valores positivos, não entra. - Em
a função é indefinida (denominador zero), então também é excluído.
Passo 6
Conclusão combinando os resultados dos testes: a função é positiva nos intervalos onde tanto numerador e denominador têm o mesmo sinal, que são
e
. Dica rápida para a prova: uma reescrita útil é
que mostra rapidamente que para
o segundo termo é positivo e para
tem sinal contrário ao de
; ainda assim é preciso checar o sinal do numerador para o caso
, por isso a análise por intervalos é mais direta e segura.