Determine os intervalos em que a funçāo indicada possui apenas valores positivos:
f_{2}(x)=\frac{x+3}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos de x em que a função
f_{2}(x)=\frac{x+3}{x-3}
assume apenas valores positivos, isto é, encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que f_{2}(x)>0.
Informações relevantes dadas pela expressão:
  • Numerador: x+3.
  • Denominador: x-3.
  • A função está definida por uma razão de dois polinômios; pontos onde o denominador é zero são excluídos do domínio.

Passo 2

Primeiro passo prático: identificar o domínio e os pontos críticos que mudam o sinal da razão. O denominador não pode ser zero, logo
x\neq 3.
Os pontos onde numerador ou denominador se anulam são importantes porque aí a função é zero ou indefinida, e eles dividem a reta em intervalos onde o sinal pode ser constante. Vamos encontrar esses pontos:
  • Resolver x+3=0 x=-3. Nesse ponto o numerador é zero e, se definido, a função seria 0.
  • Resolver x-3=0 x=3. Nesse ponto o denominador é zero e a função é indefinida (verticalmente assintótica).

Passo 3

Com os pontos x=-3 e x=3 temos que dividir a reta real em três intervalos para estudar o sinal da razão:
(-\infty,-3),\qquad (-3,3),\qquad (3,\infty).
A razão de polinômios só muda de sinal possivelmente nos pontos onde numerador ou denominador se anulam, por isso é suficiente testar um valor em cada intervalo.

Passo 4

Escolher um ponto teste em cada intervalo e calcular o sinal de numerador e denominador separadamente:
  • Para o intervalo (-\infty,-3) tomo x=-4.
    \text{numerador }= -4+3 = -1 <0,\qquad \text{denominador }= -4-3 = -7 <0.
    Razão: \dfrac{-1}{-7}>0 porque negativo dividido por negativo é positivo. Logo f_{2}(x)>0 em (-\infty,-3).
  • Para o intervalo (-3,3) tomo x=0.
    \text{numerador }= 0+3 = 3 >0,\qquad \text{denominador }= 0-3 = -3 <0.
    Razão: \dfrac{3}{-3}<0 porque positivo dividido por negativo é negativo. Logo f_{2}(x)<0 em (-3,3).
  • Para o intervalo (3,\infty) tomo x=4.
    \text{numerador }= 4+3 = 7 >0,\qquad \text{denominador }= 4-3 = 1 >0.
    Razão: \dfrac{7}{1}>0 porque positivo dividido por positivo é positivo. Logo f_{2}(x)>0 em (3,\infty).

Passo 5

Verificação dos pontos críticos:
  • Em x=-3 temos f_{2}(-3)=0. Como queremos estritamente valores positivos, x=-3 não entra.
  • Em x=3 a função é indefinida (denominador zero), então x=3 também é excluído.

Passo 6

Conclusão combinando os resultados dos testes: a função é positiva nos intervalos onde tanto numerador e denominador têm o mesmo sinal, que são (-\infty,-3) e (3,\infty). Dica rápida para a prova: uma reescrita útil é
\frac{x+3}{x-3}=1+\frac{6}{x-3},
que mostra rapidamente que para x>3 o segundo termo é positivo e para x<3 tem sinal contrário ao de x-3; ainda assim é preciso checar o sinal do numerador para o caso x<-3, por isso a análise por intervalos é mais direta e segura.

Resposta

(-\infty,-3)\cup(3,\infty)

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