- Cálculo de Volume de Sólidos
Determine o volume dos sólidos abaixo utilizando coordenadas polares:
- a) O sólido sob o paraboloide
e acima do plano
, sobre o disco
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume do sólido que está sob o paraboloide
e acima do plano
(ou seja,
), restrito ao disco
.
Informações dadas e o que isso implica:
- Superfície superior:
. - Superfície inferior: plano
, isto é . - Região de projeção no plano
: disco , ou seja raio . - O volume que queremos é a integral dupla do “altura”
sobre essa região: , com .
Passo 2
Troca para coordenadas polares — por que isso ajuda e como fazer:
- Em coordenadas polares usamos as variáveis
e , com as transformações
- No plano, o elemento de área cartesiano
vira . Esse fator é o jacobiano da transformação polar; ele aparece sempre que fazemos mudança de variáveis para polares. - A função
em polares depende só de :
pois
.
- O disco
corresponde a e (região inteira ao redor do círculo).
Portanto, o volume será calculado por uma integral dupla em polares com integrando
vezes o jacobiano
.
Passo 3
Montagem da integral em coordenadas polares:
Explicando cada parte:
-
é a altura em função de . -
é o elemento de área em polares. - Limites:
de a ; de a .
Passo 4
Calcular a integral interna (em
):
Primeiro simplificar o integrando:
Primeiro simplificar o integrando:
Agora integrar em
de
a
:
Calculemos o valor em
:
A integral radial dá
.
Passo 5
Calcular a integral externa (em
):
Portanto o volume é
.
Passo 6
Interpretação rápida e conferência:
- O resultado
pode ser visto como a área do círculo em multiplicada pela média da contribuição radial que encontramos. - Tudo faz sentido dimensionalmente: volume com fator
típico por simetria circular.