1. Cálculo de Volume de Sólidos
Determine o volume dos sólidos abaixo utilizando coordenadas polares:
  • a) O sólido sob o paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e acima do plano x y, sobre o disco x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume do sólido que está sob o paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} e acima do plano xy (ou seja, z\ge 0), restrito ao disco \;x^{2}+y^{2}\le 4.
Informações dadas e o que isso implica:
  • Superfície superior: z=4-x^{2}-y^{2}.
  • Superfície inferior: plano xy, isto é z=0.
  • Região de projeção no plano xy: disco \;x^{2}+y^{2}\le 4, ou seja raio 2.
  • O volume que queremos é a integral dupla do “altura” z sobre essa região: \displaystyle V=\iint_{D} z\,dA, com D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.

Passo 2

Troca para coordenadas polares — por que isso ajuda e como fazer:
  • Em coordenadas polares usamos as variáveis \;r\ge 0 e \theta, com as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • No plano, o elemento de área cartesiano dA vira r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o jacobiano da transformação polar; ele aparece sempre que fazemos mudança de variáveis para polares.
  • A função z=4-x^{2}-y^{2} em polares depende só de r:
z = 4 - r^{2},
pois x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • O disco x^{2}+y^{2}\le 4 corresponde a 0\le r\le 2 e \;0\le \theta\le 2\pi (região inteira ao redor do círculo).
Portanto, o volume será calculado por uma integral dupla em polares com integrando (4-r^{2}) vezes o jacobiano r.

Passo 3

Montagem da integral em coordenadas polares:
V=\iint_{D} (4 - r^{2})\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} (4 - r^{2})\; r\,dr\,d\theta.
Explicando cada parte:
  • (4-r^{2}) é a altura z em função de r.
  • r\,dr\,d\theta é o elemento de área em polares.
  • Limites: r de 0 a 2; \theta de 0 a 2\pi.

Passo 4

Calcular a integral interna (em r):
Primeiro simplificar o integrando:
(4-r^{2})\,r = 4r - r^{3}.
Agora integrar em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (4r - r^{3})\,dr = \left[2r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2}.
Calculemos o valor em r=2:
2\cdot(2)^{2} - \tfrac{1}{4}\cdot(2)^{4} = 2\cdot 4 - \tfrac{1}{4}\cdot 16 = 8 - 4 = 4.
A integral radial dá 4.

Passo 5

Calcular a integral externa (em \theta):
V=\int_{0}^{2\pi} \bigg(\int_{0}^{2} (4-r^{2})\,r\,dr\bigg)d\theta = \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 4\cdot\big[ \theta \big]_{0}^{2\pi} = 4\cdot 2\pi.
Portanto o volume é 4\cdot 2\pi.

Passo 6

Interpretação rápida e conferência:
  • O resultado 4\cdot 2\pi pode ser visto como a área do círculo em \theta multiplicada pela média da contribuição radial que encontramos.
  • Tudo faz sentido dimensionalmente: volume com fator \pi típico por simetria circular.

Resposta

8\pi

Exercícios relacionados