1. Mudança de Coordenadas e Cálculo Direto
Reescreva as integrais abaixo em coordenadas polares e, em seguida, calcule o seu valor:
b) \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde R é o disco x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se reescrever a integral dupla fornecida em coordenadas polares e depois calcular o seu valor.
  • A integral dada é
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA,
onde R é o disco definido por
x^{2}+y^{2}\le 4.
  • Informações importantes extraídas do enunciado:
    • O disco tem centro na origem (0,0) e raio 2 (porque x^{2}+y^{2}\le 4 equivale a r\le 2 em coordenadas polares).
    • A função integranda depende apenas em x^{2}+y^{2}, ou seja, é radial (só depende da distância ao centro).

Passo 2

Por que usar coordenadas polares aqui é uma boa ideia (explicação da técnica):
  • Coordenadas polares são adequadas quando a região e/ou a função têm simetria circular em torno da origem.
  • Em coordenadas polares definimos duas variáveis:
    • r é a distância do ponto à origem, com r\ge 0.
    • \theta é o ângulo que o raio-vetor faz com o eixo x, normalmente \theta\in[0,2\pi).
  • A relação entre cartesianas e polares é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Ao mudarmos de (x,y) para (r,\theta) a pequena área dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação do fator r: pequenas variações dr e d\theta formam um elemento de área aproximado por um retângulo curvo de lados dr e r\,d\theta, daí a área r\,dr\,d\theta. Esse fator é o jacobiano da transformação.

Passo 3

Reescrever a integranda e estabelecer os limites em polares:
  • A integranda e^{x^{2}+y^{2}} em polares fica e^{r^{2}}, pois x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • O disco x^{2}+y^{2}\le 4 corresponde a 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.
  • Portanto a integral em coordenadas polares é
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} e^{r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Resolver a integral interna em r (método e justificativa):
  • Vamos calcular a integral interna
\int_{r=0}^{2} e^{r^{2}}\, r\,dr.
  • Observação: essa é uma integral direta para fazer por substituição. Tome a substituição
u = r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr = \frac{1}{2}\,du.
  • Quando r=0 temos u=0. Quando r=2 temos u=4.
  • Substituindo,
\int_{r=0}^{2} e^{r^{2}}\, r\,dr = \int_{u=0}^{4} e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{4} e^{u}\,du.
  • A integral de e^{u} é e^{u}, logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{4} e^{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{0}\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-1\bigr).

Passo 5

Completar a integral fazendo a integração em \theta:
  • Voltando à integral dupla, substituímos o resultado da parte em r:
\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{2} e^{r^{2}}\, r\,dr\right)d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-1\bigr)\,d\theta.
  • O integrando agora é constante em \theta, então a integração é simples:
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-1\bigr)\,d\theta = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-1\bigr)\cdot\bigl(2\pi-0\bigr) = \pi\bigl(e^{4}-1\bigr).

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • A integral sobre o disco do exponencial de x^{2}+y^{2} explodiu em resultado fechado simples graças à substituição radial; o fator r do jacobiano foi crucial para permitir a substituição u=r^{2}.
  • Como checagem mental: quando a integranda depende só de r e a região é um disco, costuma-se obter um fator 2\pi (integral em \theta) vezes uma integral unidimensional em r. Aqui isso ocorreu e o cálculo fechou direitinho.

Resposta

\pi\bigl(e^{4}-1\bigr)

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