- Mudança de Coordenadas e Cálculo Direto
Reescreva as integrais abaixo em coordenadas polares e, em seguida, calcule o seu valor:
b)
, onde
é o disco
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se reescrever a integral dupla fornecida em coordenadas polares e depois calcular o seu valor.
- A integral dada é
onde
é o disco definido por
- Informações importantes extraídas do enunciado:
- O disco tem centro na origem
e raio (porque equivale a em coordenadas polares). - A função integranda depende apenas em
, ou seja, é radial (só depende da distância ao centro).
- O disco tem centro na origem
Passo 2
Por que usar coordenadas polares aqui é uma boa ideia (explicação da técnica):
- Coordenadas polares são adequadas quando a região e/ou a função têm simetria circular em torno da origem.
- Em coordenadas polares definimos duas variáveis:
-
é a distância do ponto à origem, com . -
é o ângulo que o raio-vetor faz com o eixo , normalmente .
-
- A relação entre cartesianas e polares é
- Ao mudarmos de
para a pequena área transforma-se em
Explicação do fator
: pequenas variações
e
formam um elemento de área aproximado por um retângulo curvo de lados
e
, daí a área
. Esse fator é o jacobiano da transformação.
Passo 3
Reescrever a integranda e estabelecer os limites em polares:
- A integranda
em polares fica , pois . - O disco
corresponde a e . - Portanto a integral em coordenadas polares é
Passo 4
Resolver a integral interna em
(método e justificativa):
- Vamos calcular a integral interna
- Observação: essa é uma integral direta para fazer por substituição. Tome a substituição
- Quando
temos . Quando temos . - Substituindo,
- A integral de
é , logo
Passo 5
Completar a integral fazendo a integração em
:
- Voltando à integral dupla, substituímos o resultado da parte em
:
- O integrando agora é constante em
, então a integração é simples:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- A integral sobre o disco do exponencial de
explodiu em resultado fechado simples graças à substituição radial; o fator do jacobiano foi crucial para permitir a substituição . - Como checagem mental: quando a integranda depende só de
e a região é um disco, costuma-se obter um fator (integral em ) vezes uma integral unidimensional em . Aqui isso ocorreu e o cálculo fechou direitinho.