Reescreva as integrais abaixo em coordenadas polares e, em seguida, calcule o seu valor:
c) \iint_{R} x^{2} y d A, onde R é o semicírculo superior x^{2}+y^{2} \leq 9, \operatorname{com} y \geq 0.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: reescrever a integral em coordenadas polares e calcular o seu valor. As informações fornecidas são:
A integral dupla é \iint_{R} x^{2}y\,dA.
A região R é o semicírculo superior definido por x^{2}+y^{2}\le 9 com y\ge 0.
O semicírculo tem raio 3 (porque 9=3^{2}).
Portanto, preciso: (a) escrever a integral sobre R usando coordenadas polares; (b) avaliar essa integral numérica.
Passo 2
Apresentar as fórmulas de mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares usa-se:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. O elemento de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do porquê do r: pequenos retângulos em coordenadas polares têm lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.
Passo 3
Reescrever o integrando em polares substituindo x e y. Temos
Expliquei: antiderivada de r^{4} é r^{5}/5; avalia-se entre 0 e 3.
Passo 8
Calcular a integral angular usando substituição. Considere
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta \,d\theta.
Faça a substituição u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta, ou seja \sin\theta\,d\theta=-du. Os limites em u são: quando \theta=0, u=\cos 0=1; quando \theta=\pi, u=\cos\pi=-1. Assim
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{486}{15}=\frac{162}{5}.
Passo 10
Interpretar o resultado brevemente: o valor da integral é positivo, o que faz sentido porque sobre o semicírculo superior y\ge 0 e x^{2}\ge 0, logo o integrando x^{2}y é não-negativo (e estritamente positivo salvo na linha y=0).