1. Mudança de Coordenadas e Cálculo Direto
Reescreva as integrais abaixo em coordenadas polares e, em seguida, calcule o seu valor:
c) \iint_{R} x^{2} y d A, onde R é o semicírculo superior x^{2}+y^{2} \leq 9, \operatorname{com} y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: reescrever a integral em coordenadas polares e calcular o seu valor. As informações fornecidas são:
  • A integral dupla é \iint_{R} x^{2}y\,dA.
  • A região R é o semicírculo superior definido por x^{2}+y^{2}\le 9 com y\ge 0.
  • O semicírculo tem raio 3 (porque 9=3^{2}).
    Portanto, preciso: (a) escrever a integral sobre R usando coordenadas polares; (b) avaliar essa integral numérica.

Passo 2

Apresentar as fórmulas de mudança para coordenadas polares. Em coordenadas polares usa-se:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. O elemento de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do porquê do r: pequenos retângulos em coordenadas polares têm lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é dr\cdot(r\,d\theta)=r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Reescrever o integrando em polares substituindo x e y. Temos
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)=r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo jacobiano r (do dA), o integrando total em dr\,d\theta fica
r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta \cdot r = r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta.

Passo 4

Determinar os limites de integração na região R. O semicírculo superior com raio 3 corresponde a:
  • r variando de 0 até 3.
  • \theta variando sobre os ângulos que dão y\ge 0, ou seja de \theta=0 até \theta=\pi.
    Logo os limites são 0\le r\le 3 e 0\le\theta\le\pi.

Passo 5

Montar a integral dupla em coordenadas polares com os limites encontrados. A integral reescrita é
\iint_{R} x^{2}y\,dA = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta \,dr\,d\theta.

Passo 6

Separar a integral em parte radial e parte angular porque o integrando é produto de uma função de r e outra de \theta:
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} r^{4}\cos^{2}\theta\sin\theta \,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{3} r^{4}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta \,d\theta\right).
Isto é permitido porque a função é separável (produto de função de r por função de \theta) e os intervalos são independentes.

Passo 7

Calcular a integral radial:
\int_{0}^{3} r^{4}\,dr = \left.\frac{r^{5}}{5}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{5}}{5} = \frac{243}{5}.
Expliquei: antiderivada de r^{4} é r^{5}/5; avalia-se entre 0 e 3.

Passo 8

Calcular a integral angular usando substituição. Considere
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta \,d\theta.
Faça a substituição u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta, ou seja \sin\theta\,d\theta=-du. Os limites em u são: quando \theta=0, u=\cos 0=1; quando \theta=\pi, u=\cos\pi=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\sin\theta \,d\theta = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} u^{2}(-du) = -\int_{1}^{-1} u^{2}\,du = \int_{-1}^{1} u^{2}\,du.
Agora calcule:
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{-1}^{1} = \frac{1^{3}-(-1)^{3}}{3} = \frac{1-(-1)}{3} = \frac{2}{3}.

Passo 9

Multiplicar os dois resultados:
\left(\frac{243}{5}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{486}{15}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{486}{15}=\frac{162}{5}.

Passo 10

Interpretar o resultado brevemente: o valor da integral é positivo, o que faz sentido porque sobre o semicírculo superior y\ge 0 e x^{2}\ge 0, logo o integrando x^{2}y é não-negativo (e estritamente positivo salvo na linha y=0).

Resposta

\dfrac{162}{5}

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