Em 1626, Peter Minuit comprou a ilha de Manhattan (em Nova Iorque) dos índios em troca de objetos no valor de 24 dólares. (Dados extraídos de: Zvi Bodie. Finanças. Porto Alegre: Bookman, 1999.) Se os índios tivessem recebido em dinheiro e aplicado esse valor a juros compostos, à taxa de 8% a.a., qual teria sido seu montante em 2004, 378 anos depois?

Passo 1

O enunciado nos dá um capital inicial de 24 dólares que teria sido aplicado a juros compostos à taxa de 8% ao ano durante 378 anos (de 1626 a 2004) e pede o montante acumulado.

Passo 2

Para juros compostos, o montante M após n períodos sobre o principal P à taxa i é dado por
M = P,(1 + i)^n

Passo 3

Aqui temos
P = 24, i = 0,08, n = 2004 - 1626 = 378,
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M = 24 times (1,08)^378

Passo 4

Vamos usar logaritmo em base 10 para aproximar:
log10M = log1024 + 378,log101,08
Sabendo que
log1024 approx 1,3802, log101,08 approx 0,03342,
temos
log10M approx 1,3802 + 378 times 0,03342 approx 14,0172

Passo 5

Dessa forma
M approx 10^14,0172 = 10^0,0172times 10^14 approx 1,04 times 10^14

Resposta

O montante em 2004 seria aproximadamente 1,04times10^14 dólares.

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