CN - Se x=7^200, y=1024^40 times 3^100 e z=16^25 times 625^50, pode-se afirmar que:
a) x<y<z
b) x<z<y
c) y<x<z
d) y<z<x
e) z<x<y

Passo 1

O enunciado pede para comparar três números muito grandes dados por
x=7^200, y=1024^40times3^100, z=16^25times625^50
O conteúdo é comparação de exponenciais: como todas têm potência positiva comum (200), podemos usar a monotonicidade da função tmapsto t^200 e comparar as raízes de ordem 200 de x,y,z.

Passo 2

Reescrevemos y em potências mais simples de 2 e 3:
1024^40=2^10cdot40=2^400,
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y=2^400cdot3^100=(2^2)^200cdot(3^tfrac12)^200=(4raiz3)^200

Passo 3

Reescrevemos z em potências de 2 e 5:
16^25=2^4cdot25=2^100, 625^50=(5^4)^50=5^200,
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z=2^100cdot5^200=(2^tfrac12)^200cdot5^200=(5raiz2)^200

Passo 4

Agora extraímos a raiz de ordem 200 de cada número:
x^1/200=7, y^1/200=4raiz3approx6,928, z^1/200=5raiz2approx7,071
Como a função tmapsto t^200 é crescente para t>0, temos
y^1/200<x^1/200<z^1/200Longrightarrow y<x<z

Resposta

c) y<x<z

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