(CM RJ-2005) Efetuando o produto \left(1-a+a^{2}-a^{3}+\ldots+a^{98}-a^{99}+a^{100}\right)(1+a) encontramos
a) 1+a^{101}
b) a+a^{101}
c) a+a^{2}+a^{3}+\ldots+a^{99}+a^{100}+a^{101}
d) a-a^{2}+a^{3}-a^{4}+\ldots+a^{99}-a^{100}+a^{101}
e) 1+a+a^{2}+a^{3}+\ldots+a^{99}+a^{100}+a^{101}

Passo 1

O enunciado pede o produto
\bigl(1 - a + a^{2} - a^{3} + \ldots + a^{98} - a^{99} + a^{100}\bigr)\,(1 + a),
que é uma soma finita de termos alternados multiplicada por 1+a. Para resolver, vamos escrever essa soma em forma de série e usar manipulação de índices.

Passo 2

Denotemos
S = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k a^k.
Então o produto que queremos é
S\,(1+a) = S + aS.

Passo 3

Escrevemos cada parcela como soma indexada:
S = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k a^k, \qquad aS = \sum_{k=0}^{100}(-1)^k a^{k+1} = \sum_{k=1}^{101}(-1)^{k-1} a^k.

Passo 4

Agora analisamos termo a termo no somatório de S + aS:
  • Para a^0: só aparece em S com k=0, coeficiente (-1)^0 = 1.
  • Para a^m com 1 \le m \le 100: vem de (-1)^m em S e de (-1)^{m-1} em aS, logo o coeficiente é
(-1)^m + (-1)^{m-1} = (-1)^{m-1}\bigl(-1+1\bigr)=0.
  • Para a^{101}: só aparece em aS vindouro de k=100, coeficiente (-1)^{100}=1.

Passo 5

Somando tudo, os únicos termos não nulos são 1 e a^{101}. Então
S\,(1+a)=1 + a^{101}.

Resposta

(a) 1 + a^{101}

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