E6. f(t)=t^31+t^2. Resp. f^prime(t)=t^2(3+t^2)(1+t^2)^2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=t^31+t^2
e pede sua derivada f'(t). O conteúdo principal aqui é a regra do quociente: se f(t)=u(t)v(t), então
f'(t)=u'(t),v(t)-u(t),v'(t)[v(t)]^2
Vamos usar isso, calculando antes u'(t) e v'(t).

Passo 2

Identificamos
u(t)=t^3, v(t)=1+t^2
Logo, pelas regras básicas de derivação,
u'(t)=ddtl(t^3r)=3t^2,
v'(t)=ddtl(1+t^2r)=2t

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
f'(t) =u'(t),v(t)-u(t),v'(t)[v(t)]^2 =3t^2(1+t^2)-t^3cdot2t(1+t^2)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
3t^2(1+t^2)-2t^4 =3t^2+3t^4-2t^4 =3t^2+t^4 =t^2l(3+t^2r)
Substituindo de volta,
f'(t) =t^2l(3+t^2r)(1+t^2)^2

Resposta

f'(t)=t^2(3+t^2)(1+t^2)^2

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