y=xm+mx+x^2n^2+n^2x^2. Resp. y^prime=1m-mx^2+2 xn^2-2 n^2x^3.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = xm + mx + x^2n^2 + n^2x^2
e pede y'. O conteúdo é derivação de soma de potências com constantes, usando a regra da soma, a regra da constante vezes função e a regra do poder.

Passo 2

Derivando o primeiro termo tfracxm=(1/m)x, como 1/m é constante e ddxx=1, obtemos
ddxl(xmr)=1m

Passo 3

No segundo termo tfracmx=m,x^-1, m é constante e pelo poder
ddxl(x^-1r)=-1,x^-2,
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ddxl(mxr)=-m,x^-2 = -mx^2

Passo 4

O terceiro termo é tfracx^2n^2=(1/n^2),x^2. Usando ddxx^2=2x, vem
ddxl(x^2n^2r)=1n^2cdot 2x = 2xn^2

Passo 5

O quarto termo é tfracn^2x^2=n^2,x^-2. Aplicando ddxx^-2=-2x^-3, resulta
ddxl(n^2x^2r)=n^2cdot(-2)x^-3 = -2n^2x^3

Passo 6

Somando todas as derivadas, concluímos
y' = 1m - mx^2 + 2xn^2 - 2n^2x^3

Resposta

y' = 1m - mx^2 + 2xn^2 - 2n^2x^3

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