Se n=5186, verifique as seguintes igualdades: varphi(n)=varphi(n+1)=varphi(n+2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os valores de varphi(n), varphi(n+1) e varphi(n+2) quando n=5186. Vamos usar a propriedade fundamental da função totiente de Euler: se
m = prodi=1^r pi^ei
é a fatoração em primos de m, então
varphi(m) = prodi=1^r l(pi^ei - pi^ei-1r) = prodi=1^r pi^ei-1(pi - 1)

Passo 2

Fatoramos n=5186. Como 5186div2=2593 e 2593 não tem divisores primos até raiz2593, concluímos que
5186 = 2^1 cdot 2593^1,
com 2593 primo. Logo,
varphi(5186) = varphi(2),varphi(2593) = (2-1),(2593-1) = 1 times 2592 = 2592

Passo 3

Agora n+1=5187. Observamos que
5187 = 3 times 1729,
e
1729 = 7 times 13 times 19
Todos primos distintos, então
varphi(5187) = 5187 l(1-tfrac13r)l(1-tfrac17r)l(1-tfrac113r)l(1-tfrac119r) = 5187 cdot tfrac23 cdot tfrac67 cdot tfrac1213 cdot tfrac1819
Cancelando 5187=3cdot7cdot13cdot19 com os denominadores, fica
varphi(5187)=2592

Passo 4

Finalmente n+2=5188. Note que
5188 = 4 times 1297 = 2^2 times 1297^1,
com 1297 primo. Logo
varphi(5188) = varphi(2^2),varphi(1297) = (2^2 - 2^1),(1297-1) = (4-2)times1296 = 2times1296 = 2592

Resposta

varphi(5186)=varphi(5187)=varphi(5188)=2592.

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