Considere os inteiros a, b e c. Se a|c, c| b e mdc(a, b)=1, prove que a= pm 1.

Passo 1

O enunciado diz que a, b e c são inteiros tais que amid c, cmid b e gcd(a,b)=1. O tema é teoria dos números, mais especificamente divisibilidade e máximo divisor comum.

Passo 2

Como amid c e cmid b, pela transitividade da divisibilidade temos
a ;m|; b

Passo 3

Sabemos que qualquer divisor comum de a e b divide gcd(a,b). Mas a divide b e divide a si mesmo, logo |a| divide gcd(a,b). Como gcd(a,b)=1, segue que
|a| = 1

Resposta

a = pm 1

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