Sugestão: Se ré um divisor qualquer de , entāo , onde é divisor de e é divisor de - o que é consequência do teorema fundamental da aritmética.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Fundamental da Aritmética, que diz que se um inteiro divide o produto , então podemos fatorar com e , e também a propriedade de máximo divisor comum: o é um divisor comum que “engloba” todos os outros, isto é, qualquer outro divisor comum divide o .
Passo 2
Seja
Então e . Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, como podemos escrever
com e .
Passo 3
Além disso implica e . Mas
é o maior divisor comum de e , logo . Analogamente . Portanto
Como também gmid a, concluímos que g é divisor comum de a e d1d2. Pela definição de gcd, isso força
g ;m|;gcdl(a,d1d2r)
Passo 4
Agora seja
h = gcdl(a,d1d2r)
Então hmid a e hmid d1d2. De novo, pelo Teorema Fundamental da Aritmética, como hmid d1d2 podemos escrever
h = u,v,
com umid d1 e vmid d2.
Mas d1mid b1 e d2mid b2, então umid b1 e vmid b2. Como também hmid a, segue que h é divisor comum de a e b1b2. Novamente pela definição de gcd, isso implica
h ;m|;gcdl(a,b1b2r)
Resposta
Juntando os dois resultados, temos
gcdl(a,b1b2r) ;m|;gcdl(a,d1d2r) e gcdl(a,d1d2r);m|;gcdl(a,b1b2r),
logo os dois números são iguais. Portanto
boxedgcdl(a,b1b2r) ;=;gcdl(a,d1d2r)
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 233