(UF-PE) ABCD é um quadrilátero, tal que os pontos
e
são seus vértices, nomeados consecutivamente e no sentido horário. O lado BC é paralelo ao lado DA, o vértice D é equidistante dos lados
e
, os lados
e
são congruentes e o ângulo entre o lado BC e a diagonal BD é
. Sobre o quadrilátero ABCD podemos afirmar que:
0-0) O quadrilátero ABCD pode ser um trapézio escaleno.
1-1) A diagonal BD coincide com a bissetriz do ângulo ABC .
2-2) 0 quadrilátero
pode ser um losango.
3-3) O vértice A é equidistante aos lados BC e CD.
4-4) O quadrilátero ABCD pode ser um paralelogramo.
1-1) A diagonal BD coincide com a bissetriz do ângulo ABC .
2-2) 0 quadrilátero
3-3) O vértice A é equidistante aos lados BC e CD.
4-4) O quadrilátero ABCD pode ser um paralelogramo.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
com vértices nomeados consecutivamente no sentido horário, tal que
– (uma só par de lados paralelos);
– é equidistante das retas
e
;
– ;
– o ângulo entre e a diagonal
é
.
–
–
–
– o ângulo entre
O conteúdo é geometria de quadriláteros, envolvendo trapézios, loci de pontos equidistantes de duas retas (bissetores de ângulos) e casos especiais (paralelogramo, losango).
Passo 2
Como
e
, concluímos que
e
são as “pernas” do trapézio, logo
é um trapézio isósceles. Um trapézio isósceles não pode ser escaleno (suas pernas são congruentes). Portanto a afirmação
0-0) “ pode ser um trapézio escaleno” é falsa.
0-0) “
Passo 3
O fato de
ser equidistante das retas
e
implica que
pertence a uma das bissetores do ângulo
. Como além disso o ângulo entre
e
vale
, vemos que
é a bissetriz interna de
, de modo que
1-1) “a diagonal coincide com a bissetriz de
” é verdadeira.
1-1) “a diagonal
Passo 4
Nada impede que, em vez de um trapézio isósceles propriamente dito, tenhamos um paralelogramo com somente um par de lados “destacado” como
. Em particular, se fizermos
e mantermos
, formamos um paralelogramo isósceles, isto é, um losango. Nesse losango as diagonais bissetam os ângulos, então
e a bissetriz produz
. Logo
2-2) “ pode ser um losango” é verdadeira
e
4-4) “ pode ser um paralelogramo” também é verdadeira.
2-2) “
e
4-4) “
Passo 5
A afirmação 3-3) “o vértice
é equidistante dos lados
e
” exigiria que
estivesse sobre a bissetriz de
. Isso só ocorre no caso especial do losango (pela diagonal
), mas não vale no trapézio isósceles genérico. Logo 3-3) é falsa.
Resposta
1-1), 2-2) e 4-4) são verdadeiras. 0-0) e 3-3) são falsas.