(UF-PE) ABCD é um quadrilátero, tal que os pontos A, B, C e D são seus vértices, nomeados consecutivamente e no sentido horário. O lado BC é paralelo ao lado DA, o vértice D é equidistante dos lados A B e B C, os lados A B e C D são congruentes e o ângulo entre o lado BC e a diagonal BD é 30^circ. Sobre o quadrilátero ABCD podemos afirmar que:
0-0) O quadrilátero ABCD pode ser um trapézio escaleno.
1-1) A diagonal BD coincide com a bissetriz do ângulo ABC .
2-2) 0 quadrilátero A B C D pode ser um losango.
3-3) O vértice A é equidistante aos lados BC e CD.
4-4) O quadrilátero ABCD pode ser um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD com vértices nomeados consecutivamente no sentido horário, tal que
BCparal<=l DA (uma só par de lados paralelos);
D é equidistante das retas AB e BC;
AB=CD;
– o ângulo entre BC e a diagonal BD é 30^circ.
O conteúdo é geometria de quadriláteros, envolvendo trapézios, loci de pontos equidistantes de duas retas (bissetores de ângulos) e casos especiais (paralelogramo, losango).

Passo 2

Como BCparal<=l DA e AB=CD, concluímos que AB e CD são as “pernas” do trapézio, logo ABCD é um trapézio isósceles. Um trapézio isósceles não pode ser escaleno (suas pernas são congruentes). Portanto a afirmação
0-0) “ ABCD pode ser um trapézio escaleno” é falsa.

Passo 3

O fato de D ser equidistante das retas AB e BC implica que D pertence a uma das bissetores do ângulo ang<= ABC. Como além disso o ângulo entre BC e BD vale 30^circ, vemos que BD é a bissetriz interna de ang<= ABC, de modo que
1-1) “a diagonal BD coincide com a bissetriz de ang<= ABC” é verdadeira.

Passo 4

Nada impede que, em vez de um trapézio isósceles propriamente dito, tenhamos um paralelogramo com somente um par de lados “destacado” como BCparal<=l DA. Em particular, se fizermos ABparal<=l CD e mantermos AB=CD, formamos um paralelogramo isósceles, isto é, um losango. Nesse losango as diagonais bissetam os ângulos, então ang<= ABC=60^circ e a bissetriz produz ang<=(CB,BD)=30^circ. Logo
2-2) “ ABCD pode ser um losango” é verdadeira
e
4-4) “ ABCD pode ser um paralelogramo” também é verdadeira.

Passo 5

A afirmação 3-3) “o vértice A é equidistante dos lados BC e CD” exigiria que A estivesse sobre a bissetriz de ang<= BCD. Isso só ocorre no caso especial do losango (pela diagonal AC), mas não vale no trapézio isósceles genérico. Logo 3-3) é falsa.

Resposta

1-1), 2-2) e 4-4) são verdadeiras. 0-0) e 3-3) são falsas.

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