Achar a área da superfície gerada pela revolução, em tôrno de O Y, do arco de y=x^{3} compreendido entre (0,0) e (2,8).

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo OY, o arco da curva y=x^3 para x variando de 0 até 2.
Conteúdo: superfície de revolução em torno do eixo vertical.
Fórmula geral (em torno de OY):
A = \int_{x=a}^{x=b} 2\pi \bigl(\text{raio}\bigr)\,\mathrm{d}s
onde a “raio” é a distância do ponto (x,y) ao eixo OY, ou seja x, e \mathrm{d}s=\sqrt{1+(y'(x))^2}\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Calcular a derivada de y:
y = x^3 \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^2.
Logo
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + (y')^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{1 + 9x^4}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Substituindo na fórmula de área de revolução em torno de OY:
A = \int_{0}^{2} 2\pi\,x\,\sqrt{1 + 9x^4}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Para facilitar, fazemos a substituição t = x^2. Então \mathrm{d}t = 2x\,\mathrm{d}x, ou seja x\,\mathrm{d}x = \tfrac12\,\mathrm{d}t. Quando x vai de 0 a 2, t vai de 0 a 4. Assim
A = 2\pi \int_{0}^{2} x\,\sqrt{1 + 9x^4}\,\mathrm{d}x = 2\pi \cdot \frac12 \int_{0}^{4} \sqrt{1 + 9t^2}\,\mathrm{d}t = \pi \int_{0}^{4} \sqrt{1 + 9t^2}\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Usamos a primitivação conhecida
\int \sqrt{1 + 9t^2}\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2}\,\sqrt{1+9t^2} +\frac{1}{6}\ln\!\bigl(3t + \sqrt{1+9t^2}\bigr) + C.

Passo 6

Avaliando de t=0 até t=4:
\int_{0}^{4} \sqrt{1 + 9t^2}\,\mathrm{d}t =\biggl[ \frac{t}{2}\sqrt{1+9t^2} +\frac{1}{6}\ln\bigl(3t+\sqrt{1+9t^2}\bigr) \biggr]_{0}^{4} =2\sqrt{145} +\frac{1}{6}\ln\bigl(12+\sqrt{145}\bigr).
Multiplicando por \pi dá a área final.

Resposta

\boxed{A = 2\pi\sqrt{145} +\frac{\pi}{6}\ln\!\bigl(12+\sqrt{145}\bigr). }

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