Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
Laço de 9 a y^{2}=x(3 a-x)^{2}. 3 \pi a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo OX, o laço da curva
9a\,y^2 \;=\; x\,(3a - x)^2.
O conteúdo aqui é “área de superfície de revolução” para y=f(x). Vamos precisar de
S \;=\; 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y\,\sqrt{1+(y')^2}\,dx,
onde [x_1,x_2] é o intervalo que descreve o laço (aqui de 0 a 3a).

Passo 2

Isolamos y (ramo superior, y\ge0):
y = \sqrt{\frac{x\,(3a-x)^2}{9a}} = \frac{3a-x}{3\sqrt a}\,\sqrt{x}.

Passo 3

Calculamos a derivada y'. Escrevendo
y = \frac1{3\sqrt a}\bigl(\sqrt x\,(3a-x)\bigr),
temos
y' = \frac1{3\sqrt a}\Bigl(\frac{3(a-x)}{2\sqrt x}\Bigr) = \frac{a-x}{2\sqrt{a\,x}}.

Passo 4

Avaliaremos
1 + (y')^2 = 1 + \frac{(a-x)^2}{4ax} = \frac{4ax + (a-x)^2}{4ax} = \frac{(a+x)^2}{4ax},
portanto
\sqrt{1+(y')^2} = \frac{a+x}{2\sqrt{a\,x}}.

Passo 5

O integrando fica
y\,\sqrt{1+(y')^2} = \frac{3a-x}{3\sqrt a}\,\sqrt{x} \;\times\;\frac{a+x}{2\sqrt{a\,x}} = \frac{(3a-x)(a+x)}{6a}.
Logo a área é
S = 2\pi \int_{0}^{3a} \frac{(3a-x)(a+x)}{6a}\,dx.

Passo 6

Expandindo o integrando:
\frac{(3a-x)(a+x)}{6a} = \frac{3a^2 +2ax - x^2}{6a} = \frac{a}{2} + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{6a}.

Passo 7

Integramos de 0 a 3a:
\int_{0}^{3a}\Bigl(\tfrac{a}{2} + \tfrac{x}{3} - \tfrac{x^2}{6a}\Bigr)dx = \Bigl[\tfrac{a}{2}x + \tfrac{x^2}{6} - \tfrac{x^3}{18a}\Bigr]_0^{3a} = \frac{3a^2}{2}.
Multiplicando por 2\pi vem
S = 2\pi\cdot\frac{3a^2}{2} = 3\pi a^2.

Resposta

3\pi a^2

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