Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
y^{2}=24-4 x, de x=3 a x=6. \frac{50}{3} \pi

Passo 1

O problema pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo OX, a parte da curva definida por
y^{2}=24-4x,
no intervalo x=3 até x=6. Trata-se de aplicar a fórmula de superfície de revolução para y=f(x) girando em torno de OX:
S = 2\pi \int_{a}^{b} y \,\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Expressamos y como função de x (ramo superior, y\ge0) e calculamos a derivada:
y = \sqrt{24-4x}, \qquad y' = \frac{d}{dx}\bigl(24-4x\bigr)^{1/2} = \tfrac12(24-4x)^{-1/2}\cdot(-4) = -\frac{2}{\sqrt{24-4x}}.
Em seguida
1 + \bigl(y'\bigr)^{2} = 1 + \frac{4}{24-4x} = \frac{24-4x + 4}{24-4x} = \frac{28-4x}{24-4x}.

Passo 3

O integrando fica
y\,\sqrt{1+(y')^{2}} = \sqrt{24-4x}\;\sqrt{\frac{28-4x}{24-4x}} = \sqrt{28-4x} = 2\,\sqrt{7-x}.
Logo
S = 2\pi \int_{3}^{6} 2\,\sqrt{7-x}\;dx = 4\pi \int_{3}^{6} \sqrt{7-x}\;dx.

Passo 4

Para calcular
\int_{3}^{6} \sqrt{7-x}\;dx
fazemos u=7-x, du=-dx, de modo que
\int_{3}^{6}\sqrt{7-x}\;dx = -\int_{4}^{1} u^{1/2}du = \int_{1}^{4} u^{1/2}du = \Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{1}^{4} = \frac{2}{3}\bigl(8-1\bigr) = \frac{14}{3}.

Resposta

S = 4\pi \cdot \frac{14}{3} = \frac{56}{3}\,\pi.

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