Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
9 y=x^{3}, de x=0 a x=2. Resp. \quad \frac{98}{81} \pi

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo O X, da curva definida por
9y = x^3,
no intervalo 0 \le x \le 2.
Isso envolve o conteúdo de cálculo integral e, em particular, a fórmula de área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y como função de x e calculamos sua derivada:
y = \frac{x^3}{9}, \qquad y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^3}{9}\Bigr) = \frac{x^2}{3}.

Passo 3

A fórmula da área de superfície gerada pela revolução de y=y(x) em torno do eixo O X é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+(y')^2}\;dx,
onde, aqui, a=0 e b=2.

Passo 4

Calculamos o integrando:
1 + (y')^2 = 1 + \Bigl(\frac{x^2}{3}\Bigr)^{2} = 1 + \frac{x^4}{9} = \frac{9 + x^4}{9},
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\sqrt{1+(y')^2} = \frac{\sqrt{9 + x^4}}{3}.
Portanto,
y\,\sqrt{1+(y')^2} = \frac{x^3}{9}\;\frac{\sqrt{9 + x^4}}{3} = \frac{x^3\,\sqrt{9 + x^4}}{27}.

Passo 5

Substituindo no integral da área,
S =2\pi\int_{0}^{2}\frac{x^3\,\sqrt{9 + x^4}}{27}\;dx =\frac{2\pi}{27}\int_{0}^{2}x^3\,\sqrt{9 + x^4}\;dx.

Passo 6

Para calcular \displaystyle \int x^3\sqrt{9 + x^4}\,dx, fazemos a substituição
u = x^4 + 9, \quad du = 4x^3\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^3\,dx = \frac{du}{4}.
Assim,
\int x^3\sqrt{9 + x^4}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{6}\,u^{3/2}.

Passo 7

Voltando a x e avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2}x^3\sqrt{9 + x^4}\,dx = \frac{1}{6}\bigl[(x^4+9)^{3/2}\bigr]_{0}^{2} = \frac{1}{6}\Bigl(25^{3/2} - 9^{3/2}\Bigr) = \frac{1}{6}\bigl(125 - 27\bigr) = \frac{98}{6} = \frac{49}{3}.
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S = \frac{2\pi}{27}\cdot\frac{49}{3} = \frac{98}{81}\,\pi.

Resposta

\frac{98}{81}\,\pi

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